はじめに 3 |
目次 5 |
序章 手を動かして学ぶニュートン力学のしくみ |
0-1 慣性の法則と運動の法則 12 |
0-2 力学のしくみ 15 |
0-3 速度と加速度 17 |
0-4 初期条件と加速度から未来の位置を計算する 19 |
0-5 運動方程式の役割 21 |
0-6 地球を貫くトンネル 22 |
0-7 初期条件と運動方程式から未来の位置を計算する 27 |
I 微分方程式が表す運動の法則 |
第1章 雨粒の運動と指数関数 |
1-1 平均の変化率と瞬間の変化率 36 |
1-2 関数の微分 38 |
1-3 雨滴の運動方程式を図で表す 40 |
1-4 解は指数関数になる 42 |
1-5 指数関数を微分する 43 |
1-6 θ=2.71828・・・の正体と指数関数が満たす微分方程式 46 |
1-7 雨滴の運動を式で表す 48 |
第2章 調和振動子とオイラーの公式 |
2-1 調和振動子の運動を相平面で考える 50 |
2-2 複素数と複素数平面 53 |
2-3 指数関数と三角関数の関係(オイラーの公式) 55 |
第3章 減衰振動と複素指数関数 |
3-1 減衰振動の運動方程式と相平面 60 |
3-2 複素指数関数の形の解を探す 62 |
3-5 定数係数線形の微分方程式の解の振る舞い 64 |
3-4 強制振動と共振 68 |
3-5 RLC回路 71 |
II 微分方程式の解法と保存量 |
第4章 テイラー展開とベクトル解析 |
4-1 テイラー展開の背後にある考え方 74 |
4-2 テイラーの公式とテイラー展開 76 |
4-3 テイラーの公式の剰余項 79 |
4-4 多変数関数の偏微分 81 |
4-5 多変数関数の全微分とテイラーの公式 83 |
4-6 定積分と微分積分学の基本定理 86 |
4-7 体積分、面積分および線積分 90 |
4-8 ベクトルの内積と外積 92 |
4-9 曲面を貫くベクトル場の流束 95 |
4-10 ガウスの湧き出し定理 97 |
4-11 ケプラー、ニュートンと万有引力の法則 100 |
4-12 球対称星の周りの重力場 102 |
4-13 曲線に沿ったベクトル場の線積分 107 |
4-14 ストークスの渦定理 109 |
第5章 微分方程式の解法 |
5-1 さまざまな微分方程式 116 |
5-2 変数分離形の1階の微分方程式 118 |
5-3 定数変化法 120 |
5-4 リッカチの微分方程式とベルヌーイの微分方程式 122 |
5-5 完全微分型の1階の微分方程式 123 |
5-6 積分可能条件 125 |
5-7 2階の微分方程式 128 |
5-8 2階の線形の微分方程式とロンスキアン 131 |
5-9 解の存在と一意性(ピカールの逐次近似法) 134 |
5-10 高階や連立の微分方程式についての注意 141 |
第6章 エネルギーの保存と振り子の周期 |
6-1 運動量と作用反作用の法則 144 |
6-2 運動エネルギーと位置エネルギー 147 |
6-3 調和振動子のエネルギー保存則とその応用 152 |
6-4 保存力であるための条件 153 |
6-5 保存力と位置エネルギーの具体例 159 |
6-6 振り子とエネルギー保存則(楕円積分) 160 |
III 解析力学と相対論的力学 |
第7章 変分原理とケプラー問題 |
7-1 オイラー・ラグランジェ方程式 166 |
7-2 変分法と最速降下曲線 170 |
7-3 最小作用の原理 175 |
7-4 ケプラー問題と楕円軌道 178 |
7-5 並進対称性と運動量およびエネルギーの保存 183 |
第8章 時空の座標とローレンツ変換 |
8-1 光速度は見る基準によらない 188 |
8-2 ガリレイ変換とニュートン力学の法則 190 |
8-3 ガリレイ変換とマクスウェルの理論は両立しない 191 |
8-4 離れた場所での同時性の概念 193 |
8-5 時空に空間座標と時間座標を定める 195 |
8-6 動いている時計の進み方とローレンツ短縮 198 |
8-7 ローレンツ変換の導出 201 |
8-8 ローレンツ変換の物理的意味と速度の加法則・ 204 |
8-9 不変2乗時空間隔と固有時 208 |
第9章 相対論的力学 |
9-1 運動量とエネルギーの表式に修正が必要なこと 214 |
9-2 4元速度 216 |
9-3 4元運動量とその保存 218 |
9-4 4元加速度と相対論的な運動方程式 221 |
9-5 相対論的な最小作用の原理 225 |
9-6 時空の並進対称性と運動量・エネルギーの保存 228 |
9-7 特殊相対論から一般相対論へ 229 |
9-8 最小作用の原理からの洞察 231 |
おわりに 233 |
付録A 234 |
付録B 239 |
索引 243 |
参考文献 253 |