| まえがき v |
| 学習の手引き vii |
| 第1章 複素平面 1 |
| 1.1 複素数 1 |
| （a）複素数とは何か 1 |
| （b）複素数の歴史 3 |
| 1.2 複素平面 4 |
| （a）座標による表示 4 |
| （b）極形式 7 |
| （c）距離 9 |
| 1.3 極限 10 |
| （a）数列の収束 10 |
| （b）級数の収束 11 |
| （c）絶対収束 12 |
| まとめ 14 |
| 演習問題 14 |
| 第2章 ベキ級数 17 |
| 2.1 ベキ級数の収束 17 |
| （a）複素関数としてのベキ級数 17 |
| （b）収束半径 18 |
| （c）収束半径の求め方 20 |
| （d）ベキ級数の例 21 |
| 2.2 ベキ級数の微分 26 |
| （a）微分の定義 26 |
| （b）ベキ級数の微分法 27 |
| 2.3 ベキ級数の生み出す関数 30 |
| （a）ベキ級数の積 31 |
| （b）ベキ級数の合成 31 |
| （c）ベキ級数の逆数 33 |
| （d）逆関数 34 |
| 2.4 解析関数 36 |
| （a）ベキ級数への再展開 36 |
| （b）解析法 39 |
| （c）一意接続の原理 40 |
| 2.5 初等関数 42 |
| （a）指数関数 42 |
| （b）3角関数 43 |
| （c）対数関数 43 |
| （d）累乗関数 45 |
| （e）逆3角関数 46 |
| まとめ 46 |
| 演習問題 46 |
| 第3章 複素関数の微分と積分 49 |
| 3.1 複素変数の関数 49 |
| （a）一般の複素関数 49 |
| （b）微分記号δ/δz，δ/δz-（Zの上部に-） 50 |
| 3.2 微分可能な関数 51 |
| （a）複素関数の微分とは 51 |
| （b）コーシー-リーマンの関係式 52 |
| 3.3 複素関数の積分 56 |
| （a）複素平面の曲線 57 |
| （b）曲線に沿う積分 59 |
| （c）積分の基本性質 60 |
| （d）簡単な例 62 |
| 3.4 コーシーの積分定理 63 |
| （a）グリーンの公式 63 |
| （b）コーシーの積分定理 66 |
| （c）積分路変形の応用 68 |
| まとめ 71 |
| 演習問題 72 |
| 第4章 コーシーの積分公式とその応用 73 |
| 4.1 コーシーの積分公式 73 |
| （a）円板におけるコーシーの積分公式 73 |
| （b）ベキ級数展開 74 |
| （c）コーシーの積分公式（一般の領域） 76 |
| 4.2 積分公式の最初の応用 77 |
| 4.3 留数定理 81 |
| （a）孤立特異点 81 |
| （b）孤立特異点の分類 84 |
| （c）留数定理 86 |
| 4.4 定積分の計算 89 |
| 4.5 無限遠点とリーマン球面 93 |
| （a）無限遠点の導入 93 |
| （b）無限遠点での座標 95 |
| （c）無点遠点での留数 96 |
| 4.6 有理関数 97 |
| （a）部分分数分解 97 |
| （b）有理関数の留数 99 |
| （c）1次分数変換 100 |
| まとめ 102 |
| 演習問題 102 |
| 第5章 無限和と無限積 105 |
| 5.1 関数項の級数 105 |
| （a）正則関数の極限 105 |
| （b）絶対収束の判定（無限級数） 107 |
| 5.2 余接関数の部分分数分解 108 |
| 5.3 無限積と因数分解 111 |
| （a）無限積 111 |
| （b）絶対収束の判定（無限積） 111 |
| （c）正弦関数の無限積表示 113 |
| （d）ガンマ関数 114 |
| 5.4 テータ関数 117 |
| （a）3重積公式 117 |
| （b）テータ関数 120 |
| まとめ 122 |
| 演習問題 122 |
| 第6章 解析関数 125 |
| 6.1 解析接続 125 |
| （a）ベキ級数の接続 125 |
| （b）対数関数の解析接続 127 |
| 6.2 直観的リーマン面 129 |
| （a）平方根のリーマン面 130 |
| （b）対数関数のリーマン面 131 |
| （c）リーマン面の例 132 |
| 6.3 線形微分方程式とモノドロミー 133 |
| （a）線形微分方程式 133 |
| （b）モノドミー行列 135 |
| まとめ 139 |
| 演習問題 140 |
| 付録 優級数の方法 141 |
| A.1 ベキ級数の合成 141 |
| A.2 ベキ級数の逆関数 143 |
| 現代数学への展望 145 |
| 参考書 151 |
| 問解答 153 |
| 演習問題解答 155 |
| 索引 161 |
