| はじめに i |
| 第1章 ベクトルの集まりと線型演算 1 |
| 1.1 幾何的ベクトルから代数的ベクトルへ 2 |
| 1.2 ベクトル空間の登場 8 |
| 1.2.1 ベクトル空間の公理（ペアノ、1888） 8 |
| 1.2.2 公理から導かれる線型演算の基本的性質 10 |
| 1.2.3 ベクトル空間の例 13 |
| 1.3 ベクトル空間の大きさを決定する数値 18 |
| 1.3.1 ベクトルから部分空間を作る 19 |
| 1.3.2 線型結合における表現の一意性 22 |
| 1.3.3 次元の導入 27 |
| 1.3.4 座標の導入 31 |
| 第1章の問題 34 |
| 第2章 ベクトル空間の間の写像と表現 36 |
| 2.1 線型演算を保存する写像 36 |
| 2.1.1 線型写像の例 37 |
| 2.1.2 線型写像を定義する方法 40 |
| 2.1.3. 線型写像の基本的性質 41 |
| 2.1.4 線型写像と関連して現れる部分空間 43 |
| 2.1.5 線型写像が次元に与える影響 45 |
| 2.1.6 部分空間・核空間・解空間は同値な概念 47 |
| 2.1.7 有限次元ベクトル空間は数ベクトル空間と同じ 49 |
| 2.2 線型写像をわかりやすくする 50 |
| 2.2.1 線型写像の表現 50 |
| 2.2.2 表現行列の例 52 |
| 2.2.3 表現行列から行列へ 56 |
| 2.2.4 行列は線型写像を与える 58 |
| 2.3 行列には線型演算と積が定義される 59 |
| 2.3.1 線型写像の線型演算 60 |
| 2.3.2 行列の線型演算 60 |
| 2.3.3 行列には積も定義される 63 |
| 2.4 基底を変えると表現行列は変わる 68 |
| 2.4.1 2組の基底の間の関係 68 |
| 2.4.2 基底および座標の変換 69 |
| 2.4.3 同型を与える線型変換の表現行列 71 |
| 2.4.4 基底変換による表現行列の変化 72 |
| 第2章の問題 75 |
| 第3章 行列の性質を決定する指標 77 |
| 3.1 行列式を定義するために 78 |
| 3.1.1 置換の便利な表記 78 |
| 3.1.2 置換のタイプと置換の分解 79 |
| 3.2 行列式の導入 86 |
| 3.2.1 行列式の基本的性質 89 |
| 3.3 行列式の計算方法と逆行列の求め方 94 |
| 3.3.1 逆行列の求め方 98 |
| 3.3.2 正則行列の判定法 100 |
| 3.4 行列式の計算方法と逆行列の求め方 106 |
| 3.4.1 連立1次方程式の解法 106 |
| 3.4.2 幾何への応用 112 |
| 3.4.3 解折への応用 117 |
| 第3章の問題 121 |
| 第4章 線型写像を見やすくする方法 123 |
| 4.1 線型写像を分類する 123 |
| 4.1.1 連立1次方程式の解（再考） 126 |
| 4.2 対角行列を表現行列にもつ線型変換 128 |
| 4.2.1 表現行列が対角行列になるとき 129 |
| 4.2.2 固有値と固有ベクトルの求め方 131 |
| 4.2.3 対角行列を表現行列にもつ線型変換 136 |
| 4.3 表現行列はどこまで簡単になるか 141 |
| 4.3.1 行列の3角化 142 |
| 4.3.2 3角化の応用 145 |
| 4.4 対角化の応用 154 |
| 4.4.1 数列の漸化式と一般項 154 |
| 4.4.2 線型微分方程式 156 |
| 第4章の問題 158 |
| 第5章 幾何的性質をもったベクトル空間 160 |
| 5.1 ベクトルに長さを定義する 160 |
| 5.1.1 計量空間における基底 165 |
| 5.2 直交する部分空間 170 |
| 5.2.1 極小化問題 174 |
| 5.3 計量空間の線型変換とその表現行列 178 |
| 5.3.1 ユニタリー変換の表現行列 180 |
| 5.3.2 幾何的な線型変換 183 |
| 5.4 正規直交基底に関する表現行列 185 |
| 5.4.1 正規変換の表現行列 188 |
| 5.4.2 有限次元複素計量空間の正規変換 190 |
| 5.5 有限次元実計量空間の正規変換 191 |
| 5.5.1 直交変換の表現行列を単純化する 195 |
| 第5章の問題 200 |
| 付録 A 線型代数から抽象代数への一歩 203 |
| A.1 基底の概念を拡張する 203 |
| A.1.1 部分空間の和 203 |
| A.1.2 ベクトル空間の直和分解 205 |
| A.1.3 直和分解を導く線型変換 211 |
| A.1.4 巾等行列は対角化可能 212 |
| A.1.5 計量空間の巾等変換 214 |
| A.2 転置行列が与える線型写像 215 |
| A.2.1 双対空間の間の線型写像 217 |
| A.2.2 双対写像の表現行列 220 |
| A.2.3 図式（A.3）を完成する 221 |
| 付録 B 予備知識:集合と写像 227 |
| B.1 集合に関する基礎知識 227 |
| B.1.1 数の集合 227 |
| B.1.2 集合の表記方法 227 |
| B.2 写像 230 |
| B.2.1 単射、全射そして全単射 231 |
| B.2.2 合成写像と逆写像 234 |
| B.2.3 置換 234 |
| ギリシャ文字 236 |
| 章末問題の解答 237 |
| 参考文献 246 |
| 話題1 量子力学における物理量 67 |
| 話題2 無理数と複素数を行列で表す 73 |
| 話題3 置換で遊びを解明する 84 |
| 話題4 ヴァンデルモンドの行列式 103 |
| 話題5 行列と行列式の起源 109 |
| 話題6 行列式の幾何的な意味 116 |
| 話題7 線型代数を微分方程式の解法に用いる 119 |
| 話題8 関数を多項式で近似する 176 |
| 話題9 双対性という言葉 222 |
| はじめに i |
| 第1章 ベクトルの集まりと線型演算 1 |
| 1.1 幾何的ベクトルから代数的ベクトルへ 2 |
| 1.2 ベクトル空間の登場 8 |
| 1.2.1 ベクトル空間の公理（ペアノ、1888） 8 |
| 1.2.2 公理から導かれる線型演算の基本的性質 10 |
