| まえがき i |
| 1. 確率空間と確率変数 1 |
| 1.1 確率空間 1 |
| 1.1.1 確率空間の例 3 |
| 1.1.2 事象列と確率 6 |
| 1.2 確率変数 9 |
| 1.3 多次元分布 13 |
| 1.4 期待値 15 |
| 1.4.1 導入手順 15 |
| 1.4.2 分布関数による表現 17 |
| 1.4.3 期待値の性質 17 |
| 1.4.4 確率変数列の極限と期待値 21 |
| 1.4.5 特性関数,確率母関数 23 |
| 1.5 条件付き確率 24 |
| 1.6 条件付き期待値 27 |
| 1.6.1 補足－ラドン-ニコディムの定理 29 |
| 2. 統計的独立性 31 |
| 2.1 独立な事象 31 |
| 2.2 独立な確率変数 33 |
| 2.3 独立確率変数列の和 37 |
| 2.4 モンテカルロ法 41 |
| 3. 確率過程,ブラウン運動,マルチンゲール 46 |
| 3.1 確率過程 46 |
| 3.1.1 両立条件 46 |
| 3.1.2 可分性 48 |
| 3.2 確率過程の例 49 |
| 3.2.1 ベルヌイ列 49 |
| 3.2.2 ガウス過程 50 |
| 3.2.3 酔歩,加法過程 51 |
| 3.3 マルチンゲール 51 |
| 3.4 ブラウン運動－定義とその特徴 58 |
| 3.5 ブラウン運動－その他の性質 64 |
| 3.6 ブラウン運動の作り方 66 |
| 3.6.1 フーリエ級数による構成 67 |
| 3.6.2 応用－折れ線近似 69 |
| 3.6.3 酔歩による近似的構成 70 |
| 4. 確率解析 72 |
| 4.1 伊藤積分 73 |
| 4.1.1 因果的乱関数 73 |
| 4.1.2 確率積分の導入 74 |
| 4.2 補足 83 |
| 4.2.1 積分区間が[0,∞)である場合 83 |
| 4.2.2 補足－リーマン（Riemann）積分としての確率積分 84 |
| 4.3 伊藤公式 87 |
| 4.4 対称積分 92 |
| 4.4.1 対称積分－伊藤過程に対する積分 93 |
| 4.4.2 対称積分2－B-微分可能関数の場合 95 |
| 4.4.3 後ろ向き積分 98 |
| 5. 確率解析2－2乗可積分マルチンゲールの場合 102 |
| 5.1 再び伊藤積分 102 |
| 5.2 マルチンゲールに関する対称積分 106 |
| 6. 確率微分方程式 110 |
| 6.1 初期値問題 110 |
| 6.1.1 解の存在と一意性 111 |
| 6.1.2 補足と一般の場合の結果 116 |
| 6.1.3 マルコフ性と熱方程式 120 |
| 6.1.4 SDEとマルチンゲール 123 |
| 6.2 対称型SDEの場合 124 |
| 7. 非因果的確率解析 129 |
| 7.1 非因果的確率積分 130 |
| 7.1.1 定義と注意 130 |
| 7.1.2 基本的結果 136 |
| 7.1.3 後ろ向き対称積分との関係について 138 |
| 7.2 非因果的問題 139 |
| 7.2.1 非因果的SDE 140 |
| 7.2.2 非因果的伊藤公式 142 |
| 7.2.3 フレドホルム型確率積分方程式 144 |
| 7.3 ノート－SDEと因果律 145 |
| 8. 数値解法入門 148 |
| 8.1 SDEの数値解法と離散化モデル 148 |
| 8.1.1 近似の意味 148 |
| 8.1.2 数値解法の手順 150 |
| 8.1.3 離散化モデル 151 |
| 8.1.4 近似の種類と精度 151 |
| 8.2 離散化の方法－確率的テイラー展開 152 |
| 8.2.1 狭義の差分法－何を基本的変量とするか？ 155 |
| 8.2.2 狭義差分法の例 156 |
| 8.2.3 狭義差分モデルの精度 157 |
| 8.2.4 補足－ルンゲ-クッタ法 160 |
| 8.2.5 狭義差分法の精度限界 160 |
| 8.2.6 精度改良の工夫-リチャードソン加速法 161 |
| 8.3 弱近似精度-非線形SDEの場合 162 |
| 8.3.1 滑らかなモデル 163 |
| 8.3.2 定理の証明 165 |
| 9. 附録 167 |
| 参考文献 174 |
| 索引 177 |
