相転移・臨界現象の統計物理学 |
1. 相転移と臨界現象 1~ 16 |
1-1 相と相図 1 |
1-2 相転移 3 |
1-3 臨界現象 5 |
1-4 スケール変換とくりこみ群 7 |
1-5 Ising模型とそれに関連した模型 12 |
演習問題1. 16 |
2. 平均場理論 17~ 47 |
2-1 平均場理論 17 |
2-2 平均場理論の臨界指数 21 |
2-3 Landau理論 24 |
2-4 三重臨界点のLandau理論 27 |
2-5 無限レンジ模型 31 |
2-6 Bethe近似 34 |
2-7 相関関数 36 |
2-8 適用限界 39 |
2-9 動的臨界現象 41 |
2-9-1 1自由度系 42 |
2-9-2 Gauss模型 43 |
演習問題2. 46 |
3. くりこみ群とスケーリング 48~ 71 |
3-1 スケール変換と固定点 48 |
3-2 パラメータ空間と変換則 51 |
3-3 固定点付近の流れと普遍性 53 |
3-4 スケーリング則 56 |
3-5 相関関数のスケーリング則 59 |
3-6 平均場理論とスケーリング則 60 |
3-7 スケーリング次元 62 |
3-8 スケーリング則によるデータ解析 63 |
3-9 クロスオーバー 66 |
3-10 動的スケーリング則 69 |
演習問題3. 70 |
4. くりこみ群の実際 72~ 89 |
4-1 1次元Ising模型 72 |
4-1-1 くりこみ群の式 72 |
4-1-2 固定点と固有値 74 |
4-1-3 物理量の特異性 76 |
4-2 2次元以上で実空間くりこみ群 77 |
4-2-1 ブロック・スピン変換 77 |
4-2-2 部分和 79 |
4-2-3 Migdal-Kadanoff近似 81 |
4-3 Gauss固定点と4次元からの展開 83 |
4-3-1 Gauss固定点 84 |
4-3-2 4次元からの展開 87 |
演習問題4. 89 |
5. Kosterlitz-Thouless転移 90~ 109 |
5-1 Peierlsの議論 90 |
5-2 XY模型の下部臨界次元 92 |
5-3 長距離秩序が存在しない証明 95 |
5-4 Kosterlitz-Thouless転移 98 |
5-5 渦対のエネルギー 101 |
5-6 くりこみ群による解析 103 |
5-6-1 KT転移を記述するくりこみ群の式 103 |
5-6-2 Kosterlitz方程式の解 106 |
演習問題5. 109 |
6. ランダムな系 110~ 141 |
6-1 ランダム磁場 110 |
6-1-1 クエンチ系と自己平均性 111 |
6-1-2 平均場理論 113 |
6-1-3 下部臨界次元 116 |
6-1-4 上部臨界次元 117 |
6-1-5 有限次元系の性質 120 |
6-2 スピングラス 121 |
6-2-1 Sherrington-Kirkpatrick模型 122 |
6-2-2 SK模型の相図 124 |
6-2-3 有限次元系の性質 125 |
6-3 希釈強磁性体のパーコーション 128 |
6-3-1 希釈強磁性体 128 |
6-3-2 パーコレーションにおけるスケーリング 131 |
6-3-3 フラクタル次元とハイパー・スケーリング 134 |
6-3-4 ボンド過程とPotts模型 137 |
演習問題6. 140 |
7. 厳密に解ける模型 142~ 171 |
7-1 1次元Ising模型 142 |
7-1-1 自由境界条件 142 |
7-1-2 周期境界条件 146 |
7-2 1次元nベクトル模型 149 |
7-3 球形模型 152 |
7-3-1 分配関数と自由エネルギー 153 |
7-3-2 鞍点条件式の解と臨界指数 155 |
7-4 1次元量子XY模型 158 |
7-5 2次元Ising模型 162 |
7-5-1 転送行列の構成 162 |
7-5-2 Majorana場での表現 164 |
7-5-3 Fermi粒子によるFourier表示 166 |
7-5-4 固有値と自由エネルギー 166 |
7-5-5 比熱の対数発散 169 |
演習問題7. 170 |
8. 双対性 172~ 189 |
8-1 双対性 172 |
8-2 高温展開と低温展開 176 |
8-3 Fourier変換と双対性 179 |
8-3-1 分配関数の一般形 179 |
8-3-2 双対変換 180 |
8-3-3 Ising模型 183 |
8-3-4 Villain模型とラフニング転移 185 |
演習問題8. 188 |
付録 190~ 208 |
1. 鞍点法 190 |
2. 磁化率の相関関数による表現 193 |
3. Rushbrookeの不等式 194 |
4. キュミュラント 196 |
5. SK模型のレプリカ対称解 197 |
5.1 分配関数のレプリカ平均 197 |
5.2 Gauss積分による一体問題化 198 |
5.3 鞍点評価 199 |
5.4 レプリカ対称解 200 |
5.5 秩序パラメータ 200 |
6. nベクトル模型の分配関数の計算に必要な積分 202 |
7. 多重Gauss積分と格子Green関数 203 |
8. Jordan-Wigner変換 206 |
9. Poissonの和公式 208 |
さらに進んだ内容を学ぶために 209 |
演習問題解答 211 |
索引 227 |