| 第1章ベクトル空間 1 |
| 1.1ベクトル空間の公理系 1 |
| 1.2部分空間と直和 7 |
| 1.3線形独立性 11 |
| 1.4基底と次元 13 |
| 1.5基底によるベクトルの展開と座標系 19 |
| 1.6基底の変換と座標変換 21 |
| 1.7直和ベクトル空間 23 |
| 1.8商ベクトル空間 24 |
| 第2章線形作用素 28 |
| 2.1定義と基本概念 28 |
| 2.2線形作用素の積 31 |
| 2.3ベクトル空間の同型 31 |
| 2.4次元定理と同型定理 33 |
| 2.5線形作用素の行列表示 35 |
| 2.6線形作用素の空間 36 |
| 2.7双対空間 38 |
| 2.8双対作用素 43 |
| 2.9固有ベクトルと固有値 44 |
| 2.10線形作用素のトレース 47 |
| 2.11アファイン空間 48 |
| 第3章テンソル空間 60 |
| 3.1多重線形写像 60 |
| 3.2テンソル積 62 |
| 3.3テンソルの積演算 65 |
| 3.4テンソルの型 65 |
| 3.5対称テンソルと反対称テンソル 70 |
| 3.62階のテンソル空間の性質 76 |
| 3.7対称テンソル空間の基底 80 |
| 3.8反対称テンソル空間の構造 81 |
| 3.9線形作用素のテンソル積 87 |
| 3.10ベクトル空問の向き 90 |
| 第4章ベクトル空間の計量 93 |
| 4.1はじめに 93 |
| 4.2計量ベクトル空間 94 |
| 4.3直交系と直交補空間 102 |
| 4.4内積空間の基本的性質 106 |
| 4.5計量の標準形 111 |
| 4.6ミンコフスキーベクトル空間 113 |
| 4.7計量の成分と複素計量の構造 114 |
| 4.8有限次元ベクトル空問における計量の構造 117 |
| 4.9展開定理と直交分解 119 |
| 4.10同型性 121 |
| 4.11線形汎関数に関する表現定理と同型定理 124 |
| 4.12共役作用素,対称作用素,反対称作用素 128 |
| 4.13テンソル空間の計量 131 |
| 4.14対称テンソル積空間と反対称テンソル積空間の計量 134 |
| 4.15ホッジのスター作用素 141 |
| 4.163次元ユークリッドベクトル空間におけるベクトル積 145 |
| 4.17η次元計量ベクトル空間の(η一1)次元部分空問 147 |
| 第5章ベクトル空間における位相と計量アファイン空間 152 |
| 5.1内積空間における点列の収束と極限 152 |
| 5.2距離空間としての内積空間 154 |
| 5.3開集合,閉集合,境界集合 155 |
| 5.4有限次元ベクトル空間における距離の同値性 160 |
| 5.5有限次元不定計量空間の位相 161 |
| 5.6計量アファイン空間 162 |
| 第6章ベクトル空問における曲線論 169 |
| 6.1ベクトル空問上のベクトル値関数 169 |
| 6.2曲線 174 |
| 6.3曲線の微分 175 |
| 6.4曲線の積分 180 |
| 6.5曲線の長さ 182 |
| 6.6曲線に関する幾何学的概念 187 |
| 6.7微分方程式と流れ 190 |
| 第7章スカラー場とベクトル場の理論 204 |
| 7.1スカラー場 204 |
| 7.2微分積分学の基本定理の普遍形 215 |
| 7.3スカラー場の高階の微分とラプラシアン 217 |
| 7.4ベクトル場の微分 223 |
| 7.5ベクトル場の発散 230 |
| 7.63次元ユークリッドベクトル空間上のベクトル解析 234 |
| 7.7パラメータ付き図形と接空間 240 |
| 7.8積分量 242 |
| 第8章テンソル場の理論 250 |
| 8.1テンソル場 250 |
| 8.2外微分作用素 255 |
| 8.3反対称反変テンソル場に対する外微分作用素 259 |
| 8.4異なる次数の外微分作用素の統一化 263 |
| 8.5微分形式の引き戻し 264 |
| 8.6ポアンカレの補題 266 |
| 8.7余微分作用素 269 |
| 第9章ストークスの定理 275 |
| 9.1曲方体と鎖体 275 |
| 9.2境鎖体 279 |
| 9.3p鎖体上のp次微分形式の積分 284 |
| 9.4ストークスの定理 287 |
| 9.5応用－古典的積分定理の導出 289 |
| 第10章物理学への応用 294 |
| 10.1古典力学 294 |
| 10.2特殊相対性理論 303 |
| 10,3古典電磁気学 309 |
| 10.4流体力学 310 |
| 付録A集合と写像 317 |
| A.1基本的概念 317 |
| A.2直積 321 |
| A.3同値関係と商集合 322 |
| A.4写像 325 |
| A.5集合の写像特性 331 |
| A.6集合の対等と濃度 333 |
| 参考文献 335 |
| 演習問題の解答(略解) 337 |
| 索引 359 |
