量子現象の数理 |
1 物理量の共立性に関わる数理 1 |
1.1 はじめに 1 |
1.2 単独の物理量に関する測定(Ⅰ)ー純点スペクトル的な物理量の場合 3 |
1.3 単独の物理量に関する測定(Ⅱ)ー一般の場合 5 |
1.4 複数の物理量の測定による状態の一意的決定(Ⅰ)ー純点スペクトル的な物理量の組の場合 16 |
1.5 複数の物理量の測定による状態の一意的決定(Ⅱ)ー一般の場合 21 |
1.6 代表的な特徴づけ 28 |
付録A 可分なヒルベルト空間の巡回ベクトルによる直交分解 32 |
ノート 35 |
第1章 演習問題 36 |
関連図書 37 |
2 物理量の自己共役性 38 |
2.1 はじめに 38 |
2.2 小さい摂動 42 |
2.3 加藤-レリッヒの定理の応用-シュレーディンガー型作用素の自己共役性、原子と物質の弱安定性 52 |
2.4 必ずしも小さくない摂動 71 |
2.5 混合型ポテンシャルをもつ場合 78 |
2.6 交換子定理 79 |
2.7 解析ベクトル定理 85 |
2.8 準双線形形式と自己共役作用素 89 |
2.9 形式による摂動-KLMN定理 108 |
2.10 ディラック型作用素の本質的自己共役性 110 |
付録B 作用素の和が閉であるための条件 116 |
付録C 閉対称作用素の基本的性質 117 |
付録D 閉対称作用素が自己共役拡大をもつ条件 119 |
付録E 交換子に関する基本公式 122 |
ノート 123 |
第2章 演習問題 123 |
関連図書 127 |
3 正準交換関係の表現と物理 128 |
3.1 はじめに 128 |
3.2 予備的考察 130 |
3.3 ヴァイル型表現 137 |
3.4 シュレーディンガー表現のヴァイル型性 140 |
3.5 ヴァイル型表現の構造-フォン・ノイマンの一意性定理 142 |
3.6 CCRの非同値表現とアハラノフ-ボーム効果 154 |
3.7 弱ヴァイル型表現 169 |
3.8 時間作用素 174 |
ノート 183 |
第3章 演習問題 184 |
関連図書 185 |
4 量子力学における対称性 188 |
4.1 はじめに-対称性とはどういうものか 188 |
4.2 群 189 |
4.3 量子力学における対称性の原理的耕造 197 |
4.4 一般の表現 213 |
4.5 物理量の対称性 219 |
4.6 シュレーディンガー型作用素の対称性 224, |
4.7 対称性と保存則 226, |
4.8 回転対称性と軌道角運動量作用素の保存 227, |
4.9 軌道角運動量の固有空間による直和分解(Ⅰ)ー2次元空間の場合 229, |
4.10 軌道角運動量の固有空間による直和分解(Ⅱ)ー3次元空間の場合 235, |
4.11 リー代数的構造と対称性 245, |
付録F 位相空間 255, |
ノート 257, |
第4章 演習問題 258, |
関連図書 259, |
5 物理量の摂動と固有値の安定性 261, |
5.1 はじめに 261, |
5.2 複素変数とパナッハ空間値関数 263,訂正 |
5.3 閉素変数と羃等作用素 270,1行追加、訂正 |
5.4 物理量の摂動の一般的クラス-解析的摂動 279, |
5.5 応用 289, |
5.6 埋蔵固有値の摂動、共鳴極、生き残り確率 297 |
5.7 フリードリスクモデル 304 |
付録G バナッハ空間の双対空間とハーンーバナッハの定理 317 |
付録H ある2重積分の計算 320 |
ノート 321 |
第5章 演習問題 322 |
関連図書 323 |
6 物理量のスペクトル 324 |
6.1 はじめに 324 |
6.2 離散スペクトルと真性スペクトルの特徴づけ 324 |
6.3 最小-最大原理 329 |
6.4 コンパクト作用素 343 |
6.5 真性スペクトルの安定性 352 |
6.6 シュレーデインガー型作用素の真性スペクトル 354 |
6.7 シュレーデインガー型ハミルトニアンの離散スペクトル 361 |
ノート 367 |
第6章 演習問題 368 |
関連図書 369 |
7 散乱理論 370 |
7.1 はじめにー発見法的議論 370 |
7.2 数学的準備-絶対連続スペクトルと特異スペクトル 376 |
7.3 散乱理論の一般的枠組み 390 |
7.4 波動作用素の存在に対する判定条件 399 |
7.5 波動作用素の完全性に対する判定条件 402 |
7.6 散乱作用素の積分表示と漸近展開 403 |
ノート 406 |
第7章 演習問題 406 |
関連図書 407 |
8 虚数時間と汎関数積分の方法 409 |
8.1 はじめに-量子動力学の虚数時間への拡張 409 |
8.2 熱半群、スペクトルの下限、基底状態 412 |
8.3 汎関数積分および確率過程との接続-発見法的議論 418 |
8.4 確率過程の存在 430 |
8.5 ブラウン運動 434 |
8.6 ファインマン-カッツの公式 440 |
8.7 基底状態過程 445 |
付録I 確率論の基本事項 450 |
付録J ガウス型確率過程 454 |
付録K 確率過程の連続性に対する判定条件 458 |
ノート 460 |
第8章 演習問題 460 |
関連図書 462 |
9 超対称的量子力学 464 |
9.1 はじめに-超対称性とはどういうものか 464 |
9.2 超空間、超場および超対称性代数 465 |
9.3 公理論的超対称的量子力学 476 |
9.4 超対称性と特異摂動-摂動法の破綻 499 |
9.5 ウィッテンモデル 502 |
9.6 縮退した零エネルギー基底状態をもつモデル 510 |
付録L トレース型作用素 513 |
付録M 自己共役作用素の強レゾンヴェント収束 516 |
付録N 簡単な超関数方程式の解 518 |
ノート 519 |
第9章 演習問題 520 |
関連図書 524 |
索引 527 |
量子現象の数理 |
1 物理量の共立性に関わる数理 1 |
1.1 はじめに 1 |
1.2 単独の物理量に関する測定(Ⅰ)ー純点スペクトル的な物理量の場合 3 |
1.3 単独の物理量に関する測定(Ⅱ)ー一般の場合 5 |
1.4 複数の物理量の測定による状態の一意的決定(Ⅰ)ー純点スペクトル的な物理量の組の場合 16 |