| 1章 古典力学 1 |
| §1. ニュートンの法則 1 |
| 1.1 ニュートンの三法則 1 |
| 1.2 数学的枠組 2 |
| 1.3 物理量としての質量と力 3 |
| 1.4 例 4 |
| 1.5 仕事とエネルギー 6 |
| §2. 解析力学(1) 7 |
| 2.1 解析力学の成立 7 |
| 2.2 一般座標 8 |
| 2.3 変分原理 8 |
| 2.4 正準方程式 9 |
| §3. 古典力学における数学と物理学 9 |
| 3.1 歴史のスケッチ 9 |
| 3.2 力学における数学と物理学の交流の問題点 12 |
| 2章 ベクトル解析 16 |
| §1. 微分 16 |
| 1.1 1変数関数の微分 16 |
| 1.2 多変数関数の微分 17 |
| 1.3 ベクトル値関数の微分 17 |
| 1.4 微分の基本演算 18 |
| §2. 曲線,局面 20 |
| 2.1 パラメータ表示 20 |
| 2.2 スカラー場,ベクトル場 22 |
| 2.3 曲線,曲面の陰関数表示 23 |
| §3. 微分式の微分と積分 24 |
| 3.1 ヤコビアン 24 |
| 3.2 微分式(外微分形式) 24 |
| 3.3 微分式の微分 26 |
| 3.4 微分式の積分 28 |
| 3.5 ストークスの定理 32 |
| 3.6 完全微分条件 34 |
| 3.7 諸例 36 |
| §4. 電磁場と相対論 39 |
| 4.1 マクスウェル方程式 39 |
| 4.2 電磁場のエネルギーと運動量 40 |
| 4.3 マクスウェル理論における数学と物理学との交流 41 |
| 4.4 相対論 43 |
| §5. 解析力学(2) 52 |
| 5.1 接触変換, 正準変換 52 |
| 5.2 不変量 53 |
| 5.3 ポアソン括弧 54 |
| 5.4 無限小正準変換 55 |
| ベクトル解析のあとがき 57 |
| 3章 複素変数関数 59 |
| §1. 複素平面 59 |
| 1.1 極座標表示 59 |
| 1.2 e11 60 |
| 1.3 e11と円運動 61 |
| 1.4 複素平面の意義 62 |
| §2. 複素関数の微分 63 |
| 2.1 微分可能条件 コーシー･リーマン方程式 63 |
| 2.2 正則性 65 |
| §3. 複素関数の積分 66 |
| 3.1 曲線 66 |
| 3.2 曲線C上の積分の定義 66 |
| 3.3 コーシーの積分定理 67 |
| 3.4 原始関数 68 |
| 3.5 コーシーの積分公式 68 |
| §4. 巾級数(テイラー級数) 69 |
| 4.1 巾級数の基本性質 69 |
| 4.2 正則関数の巾級数展開 71 |
| §5. 正則関数の諸性質 72 |
| 5.1 一致の定理 72 |
| 5.2 絶対値に関する定理 73 |
| 5.3 リウヴィユの定理 73 |
| 5.4 最大値の原理 73 |
| 5.5 一様収束 74 |
| 5.6 解析接続 74 |
| 5.7 実関数との比較 75 |
| §6. 正則関数の物理的意味 76 |
| 6.1 正則関数と流体 76 |
| 6.2 ポテンシャル(調和関数) 77 |
| 6.3 調和関数の諸性質 78 |
| 6.4 等角写像 79 |
| §7. その他 80 |
| 7.1 ローラン展開 80 |
| 7.2 有理型関数とリーマン球面 81 |
| §8. 関数論における数学と物理学 82 |
| 4章 フーリエ級数 86 |
| §1. フーリエ級数とは 86 |
| 1.1 sin nx,cos nxの性質 86 |
| 1.2 フーリエ係数 86 |
| §2. 関数空間 87 |
| 2.1 一様ノルム 87 |
| 2.2 平均2乗ノルム 88 |
| 2.3 C[a,b]における正規直交系 89 |
| 2.4 ベッセル不等式 89 |
| §3. フーリエ級数展開定理 90 |
| 3.1 定理の言明 90 |
| 3.2 注と例 91 |
| §4. 問題点 92 |
| 4.1 フーリエ級数の物理的意味 92 |
| 4.2 パーセヴァル等式について 93 |
| 4.3 位相解析の意義 93 |
| §5. フーリエ級数成立の歴史的意義 94 |
| 5.1 波動方程式 94 |
| 5.2 フーリエの熱伝導論 96 |
| 5.3 フーリエ級数の波紋 96 |
| 5章 測度と積分 99 |
| §1. ルベーグ測度 99 |
| 1.1 測度 99 |
| 1.2 可測集合 100 |
| §2. 可測関数 101 |
| 2.1 定義 101 |
| 2.2 可測関数の性質 101 |
| §3. ルベーグ積分 102 |
| 3.1 定義 102 |
| 3.2 ルベーグ・ファトウの定理 103 |
| §4. 確率変数と確率空間 104 |
| 4.1 ルベーグ・スチルチェス積分 104 |
| 4.2 確率空間 105 |
| 4.3 ほとんどいたるところという概念 105 |
| 4.4 確率変数の基礎概念 106 |
| 6章 フーリエ解析 109 |
| §1. フーリエ級数再論 109 |
| 1.1 完備性の問題 109 |
| 1.2 関数空間L1,L2 110 |
| 1.3 L^2の関数のフーリエ展開 111 |
| 1.4 ヒルベルト空間 112 |
| §2. フーリエ変換 116 |
| 2.1 フーリエ変換の概念 116 |
| 2.2 たたみ込み 118 |
| 2.3 L1上のフーリエ変換 120 |
| 2.4 応用 121 |
| §3. ラプラス変換 125 |
| 3.1 フェラーのタウバー型定理 125 |
| 3.2 複素ラプラス変換 125 |
| 3.3 回路網理論とラプラス変換 128 |
| 7章 確率論と統計力学 133 |
| §1. 統計力学の確率論的構造 133 |
| 1.1 相空間 リウヴィユの定理 133 |
| 1.2 エルゴード定理 134 |
| 1.3 構造関数 135 |
| 1.4 系の成分の構造関数 135 |
| 1.5 母関数,ボルツマンの法則,温度 137 |
| 1.6 エントロピー 138 |
| §2. ブラウン運動とディリクレ問題 140 |
| 2.1 ブラウン運動 140 |
| 2.2 ランダムウォーク(酔歩) 141 |
| 2.3 マルコフ過程とくにブラウン運動 142 |
| 2.4 半群,生成元 143 |
| 2.5 強マルコフ性とディンキンの公式 144 |
| 2.6 ディリクレ問題の確率論的解 145 |
| 8章 量子力学 148 |
| §1. 初等量子力学 148 |
| 1.1 状態と物理量の概念 148 |
| 1.2 交換関係 150 |
| 1.3 運動方程式 152 |
| 1.4 応用例 153 |
| 1.5 注 156 |
| §2.相対論的電子論 158 |
| 2.1 クライン－ゴルドン方程式 158 |
| 2.2 ディラック方程式 158 |
| 2.3 ディラック方程式からの諸結果 159 |
| §3. 場の量子論とくに量子電磁力学 162 |
| 3.1 相対論的古典場のラグランジュ形式 163 |
| 3.2 量子化 169 |
| 3.3 相互作用表示とS-行列 174 |
| 3.4 S-行列の摂動計算とくりこみ理論 177 |
| 3.5 数学的枠の内部矛盾 179 |
| 3.6 問題点 182 |
| 参考書 185 |
| 索引 187 |
