まえがき i |
読者の便宜のために vii |
第0章 なぜ複素関数か? 1 |
0.1 数学は進歩している 1 |
0.2 複素関数論とは?その効用は? 2 |
第1章 複素数と複素平面 4 |
1.1 複素数の定義と性質 4 |
1.2 複素平面上の集合についての諸概念 6 |
1.3 1の巾根 9 |
第1章 演習問題 10 |
第2章 複素微分可能性,正則性 12 |
2.1 正則性の概念 12 |
2.2 複素関数の実部と虚部への分解 15 |
2.3 コーシー・リーマンの関係式 16 |
2.4 逆写像定理 19 |
第2章 演習問題 21 |
第3章 複素巾級数 23 |
3.1 巾級数の収束半径 23 |
3.2 巾級数が定める正則関数 25 |
第3章 演習問題 30 |
第4章 初等超越関数 31 |
4.1 実変数での復習 31 |
4.2 複素関数としての指数関数,三角関数 32 |
4.3 複素対数関数,複素巾関数 35 |
4.4 複素関数による写像 36 |
第4章 演習問題 39 |
第5章 複素線積分とグリーン・ストークスの定理 40 |
5.1 実平面上の線積分 40 |
5.2 複素線積分 41 |
5.3 グリーン・ストークスの定理 46 |
第5章 演習問題 51 |
第6章 コーシーの積分定理,コーシーの積分公式 52 |
6.1 コーシーの積分定理 52 |
6.2 コーシーの積分公式 55 |
第6章 演習問題 57 |
第7章 巾級数展開とその応用 61 |
7.1 巾級数展開可能定理 61 |
7.2 正則関数の性質 63 |
7.3 モレラの定理 67 |
第7章 演習問題 67 |
第8章 孤立特異点とローラン展開 69 |
8.1 孤立特異点とローラン展開可能定理 69 |
8.2 孤立特異点の3分類 71 |
8.3 留数の導入 72 |
第8回 演習問題 73 |
第9章 留数定理 75 |
9.1 有理型関数と留数定理 75 |
9.2 留数を用いた定積分の計算 78 |
第9回 演習問題 87 |
第10章 偏角の原理など 88 |
10.1 有理型関数の零点と極 88 |
10.2 偏角の原理とルーシェの定理 90 |
第10章 演習問題 93 |
第11章 ラプラス方程式その1:調和関数論 94 |
11.1 調和関数と正則関数の関係 94 |
11.2 調和関数の平均値の性質と最大最小値の原理 97 |
11.3 調和性の極限移行 100 |
第11章 演習問題 102 |
第12章 ディリクレ問題 103 |
12.1 円板におけるディリクレ問題 103 |
12.2 解の存在と一意性 108 |
12.3 円周上まで有効な単位円板でのディリクレ問題の解表示 109 |
第12章 演習問題 109 |
第13章 グリーン関数によるディリクレ問題の解の構成 112 |
13.1 平面でのグリーンの公式 112 |
13.2 グリーン関数の方法 113 |
第14章 ベクトル解析からの準備 118 |
14.1 ベクトル解析の記号 118 |
14.2 ガウスの発散定理等 120 |
第14章 演習問題 125 |
第15章 電磁場のポテンシャル論 128 |
15.1 静電磁場のポテンシャル論:これは数学の範疇 128 |
15.2 定常電流と静電場 131 |
15.3 ボアッソン方程式と電磁気学の基本法則 134 |
15.4 マックスウェルの方程式:電磁場が時間に依存して変化する場合 135 |
第15章 演習問題 140 |
第16章 複素一次変換 141 |
16.1 リーマン球面P^1と立体射影 141 |
16.2 複素一次分数変換 145 |
16.3 正則関数の等角性 149 |
16.4 正則同型、等角同型 152 |
第16章 演習問題 155 |
演習問題解答 157 |
参考文献 184 |
数学者リスト 185 |
索引 187 |