| 用語の問題 xiii |
| 記号表 xv |
| O 分枝過程の例から 1 |
| 0.0 はじめるにあたっての注意 1 |
| 0.1 子供の数X 1 |
| 0.2 n世代の大きさZn 2 |
| 0.3 条件付平均の方法 3 |
| 0.4 消滅確率π 4 |
| 0.5 測度―思考をまとめるための小休止 6 |
| 0.6 マルチンゲール事始め 7 |
| 0.7 平均の収束または非収束 9 |
| 0.8 M∞の分布を求める 9 |
| 0.9 具体例 10 |
| PartA 基礎 15 |
| 1 測度空間 15 |
| 1.0 はじめの諸注意 15 |
| 1.1 加法族，σ-加法族の定義 16 |
| 1.2 例．ボレルσ-加法族，β（S）,β＝β（R） 18 |
| 1.3 集合関数に関する定義 19 |
| 1.4 測度空間の定義 20 |
| 1.5 測度に関連する定義 20 |
| 1.6 補題．拡張の一意性，π-系 21 |
| 1.7 カラテオドリの拡張定理 21 |
| 1.8 （(0,1],β(0,1]）上のルベーグ測度Leb 22 |
| 1.9 補題．基本的な不等式 23 |
| 1.10 補題．測度の単調収束性 23 |
| 1.11 例／警告 24 |
| 2 事象 25 |
| 2.1 実験に対応するモデル：（Ω,Ｆ,Ｐ） 25 |
| 2.2 直観的意味 25 |
| 2.3 ペア（Ω,Ｆ）の例 26 |
| 2.4 ほとんど確実に（a.s.） 27 |
| 2.5 思い出しておこう：limsup,liminf,↓lim等 28 |
| 2.6 定義．limsup En，（En,i.o.） 28 |
| 2.7 ボレル・カンテリ（Borel-cantelli）の第1補題（BC1） 29 |
| 2.8 定義・lim inf En，（En,ev） 30 |
| 2.9 線習 30 |
| 3 確率変数 31 |
| 3.1 定義．Σ-可測関数，mΣ,（mΣ）^+,bΣ 31 |
| 3.2 可測性に関する基本的命題 32 |
| 3.3 補題．可測関数の和と積は可測関数 32 |
| 3.4 写像の合成に関する補題 33 |
| 3.5 関数列のinf,lim infなどの可測性に関する補題 33 |
| 3.6 定義．確率変数 34 |
| 3.7 例．コイン投げ 34 |
| 3.8 定義．Ω上の関数の集合から生成されるσ-加法族 34 |
| 3.9 定義．法則，分布関数 35 |
| 3.10 分布関数の諸性質 36 |
| 3.11 与えられた分布関数に対応する確率変数の存在 36 |
| 3.12 分布関数に対応する確率変数のスコロホド表現 36 |
| 3.13 生成されたσ-加法族を巡る議論 38 |
| 3.14 単調族定理 39 |
| 4 独立性 40 |
| 4.1 独立性に関する諸定義 40 |
| 4.2 π-系補題，および，おなじみの定義 41 |
| 4.3 ボレル・カンテリの第2補題（BC2） 42 |
| 4.4 例 42 |
| 4.5 モデル化についての基本的な問い 44 |
| 4.6 コイン投げモデルとその応用 44 |
| 4.7 記号：IID RVs 45 |
| 4.8 確率過程：マルコフ連鎖 45 |
| 4.9 猿がシェイクスピアをタイプする 46 |
| 4.10 定義．末尾σ-加法族 48 |
| 4.11 定理．コルモゴロフの0-1法則 49 |
| 4.12 練習／警告 50 |
| 5 種分 51 |
| 5.0 記号など．μ（ｆ）:＝∫fdu，μ(f;A) 51 |
| 5.1 非負単純関数に対する積分，SF+ 52 |
| 5.2 定義．μ（f），f∈(mΣ)+ 52 |
| 5.3 単調収束定理（Monotone-Convergence Theorem,MON） 53 |
| 5.4 関数列に対するファトウの補題 55 |
| 5.5 “線形性” 55 |
| 5.6 ｆの正の部分と負の部分 56 |
| 5.7 可積分関数，Ｌ^1（Ｓ,Σ,μ） 56 |
| 5.8 線形性 56 |
| 5.9 優収束定理（Dominated-Convergence Theorem, DOM） 56 |
| 5.10 シェフェの補題（SCHEFFE） 57 |
| 5.11 一様可積分性に関する注意 58 |
| 5.12 スタンダードマシン（常套手段） 58 |
| 5.13 部分集合上の積分 58 |
| 5.14 測度ｆμ,ｆ∈(mΣ)+ 59 |
| 6 平均 60 |
| 6.0 はじめの諸注意 60 |
| 6.1 平均の定義 60 |
| 6.2 収束定理 60 |
| 6.3 記号E(X;F) 61 |
| 6.4 マルコフの不等式 62 |
| 6.5 非負確率変数の和 62 |
| 6.6 凸関数に対するイェンゼンの不等式 63 |
| 6.7 L^p-ノルムの単調性 64 |
| 6.8 シュワルツの不等式 65 |
| 6.9 Ｌ^2：ピタゴラス，共分散，その他 65 |
| 6.10 L^p（1≦p＜∞）の完備性 68 |
| 6.11 直交射影 69 |
| 6.12 平均に関する“初等的公式” 70 |
| 6.13 イェンゼンの不等式からヘルダーの不等式へ 71 |
| 7 やさしい強大数の法則 73 |
| 7.1 “独立性は乗法を意味する”再度確認！ 73 |
| 7.2 強大数の法則―最初のヴァージョン 74 |
| 7.3 チェビシェフの不等式 75 |
| 7.4 ワイエルシュトラスの近似定理 75 |
| 8 直積測度 77 |
| 8.0 導入と助言 77 |
| 8.1 可測空間の積構造，Σ1×Σ2 77 |
| 8.2 直積測度，フビニの定理 79 |
| 8.3 結合分布（結合法則），結合確率密度関数（pdf） 81 |
| 8.4 独立性と直積測度 82 |
| 8.5 β(Ｒ)^n＝β(R^n) 82 |
| 8.6 n重への拡張 83 |
| 8.7 確率三つ組の無限直積 83 |
| 8.8 結合分布に関するテクニカルな注意 84 |
| PartB マルチンゲールの理論 85 |
| 9 条件付平均 85 |
| 9.1 導入のための一つの例 85 |
| 9.2 基本定理と定義（Kolmogorov,1933） 86 |
| 9.3 直観的な意味づけ 87 |
| 9.4 最良最小二乗推定量としての条件付平均 87 |
| 9.5 9.2節の定理の証明 88 |
| 9.6 慣習的な定義との一致 89 |
| 9.7 条件付平均の諸性質：リスト 90 |
| 9.8 9.7節の諸性質の証明 92 |
| 9.9 正則条件付確率と確率密度関数（pdf） 93 |
| 9.10 独立性に関する諸仮定の下での条件付け 94 |
| 9.11 対称性を用いる：一つの例 95 |
| 10 マルチンゲール 96 |
| 10.1 フィルター付き空間 96 |
| 10.2 適合過程 96 |
| 10.3 マルチンゲール，優マルチンゲール，劣マルチンゲール 97 |
| 10.4 マルチンゲールの例 98 |
| 10.5 公平または不公平なゲーム 99 |
| 10.6 可予測過程，ギャンブルの戦略 100 |
| 10.7 基本原理：君はゲームの枠を壊せない！ 100 |
| 10.8 停止時間 101 |
| 10.9 停止優マルチンゲールは劣マルチンゲールである 102 |
| 10.10 ドゥーブの任意抽出定理 103 |
| 10.11 ほとんど不可避なことを待つ 104 |
| 10.12 単純ランダムウォークの到達時間 105 |
| 10.13 マルコフ連鎖に関する非負優調和関数 l06 |
| 11 収束定理 110 |
| 11.1 図はすべてを語る 110 |
| 11.2 上向き横断 110 |
| 11.3 ドゥーブの上向き横断数補題 112 |
| 11.4 系 112 |
| 11.5 ドゥーブの“前向き”収束定理 112 |
| 11.6 警告 113 |
| 11.7 系 113 |
| 12 Ｌ^2-有界なマルチンゲール 114 |
| 12.0 導入 114 |
| 12.1 Ｌ^2におけるマルチンゲール．増分の直交性 114 |
| 12.2 Ｌ^2に属する平均0の確率変数の和 115 |
| 12.3 ランダムな符号 117 |
| 12.4 標本空間を拡大することによる対称化の手法 117 |
| 12.5 コルモゴロフの三級数定理 119 |
| 12.6 チェザロの補題 120 |
| 12.7 クロネッカーの補題 120 |
| 12.8 分散に条件を付けての強大数の法則 121 |
| 12.9 コルモゴロフの刈り込み補題 121 |
| 12.10 コルモゴロフの強大数の法則（Strong Law of Large Numbers, SLLN） 122 |
| 12.11 ドゥーブ分解 123 |
| 12.12 角括弧過程(Ｍ) 124 |
| 12.13 Ｍの収束と(Ｍ)∞が有限であることの関連 125 |
| 12.14 Ｌ^2-マルチンゲールに対する自明な“強法則” 126 |
| 12.15 ボレル・カンテリの補題のレヴィによる拡張 126 |
| 12.16 コメント 127 |
| 13 一様可積分性 128 |
| 13.1 “絶対連続性”に関する一性質 128 |
| 13.2 定義．一様可積分な確率変数族 129 |
| 13.3 一様可積分の性質をもつための簡単な2つの十分条件 129 |
| 13.4 条件付平均に関する一様可積分性 130 |
| 13.5 確率収束 131 |
| 13.6 有界収束定理に関する初等的な証明 131 |
| 13.7 Ｌ^2-収束のための必要十分条件 132 |
| 14 一様可積分なマルチンゲール 134 |
| 14.0 はじめに 134 |
| 14.1 一様可積分なマルチンゲール 134 |
| 14.2 レヴィの“前向き”定理 135 |
| 14.3 コルモゴロフの0-1法則のマルチンゲールによる証明 136 |
| 14.4 レヴィの“後ろ向き”定理 136 |
| 14.5 強大数の法則のマルチンゲールによる証明 137 |
| 14.6 ドゥーブの劣マルチンゲール不等式 138 |
| 14.7 重複対数の法則：特別の場合 139 |
| 14.8 正規分布に関する基本的な評価 141 |
| 14.9 指数有界性への注意．大偏差原理 142 |
| 14.10 ヘルダーの不等式からの一つの結果 142 |
| 14.11 ドゥーブのＬ^p-不等式 143 |
| 14.12 “積”のマルチンゲールに関する角谷の定理 144 |
| 14.13 ラドン・ニコディムの定理 145 |
| 14.14 ラドン・ニコディムの定理と条件付平均 148 |
| 14.15 尤度比，測度の同値性 149 |
| 14.16 尤度比と条件付平均 149 |
| 14.17 角谷の定理再説と尤度比検定の一致性 150 |
| 14.18 ハーディー空間についての注意，そのほか（大急ぎで!） 151 |
| 15 応用 153 |
| 15.0 イントロダクション－どうか読んでください！ 153 |
| 15.1 マルチンゲール表現の簡単な例 154 |
| 15.2 オプション価格：ブラック・ショールズ公式の離散版 155 |
| 15.3 マビノギオンの羊の問題 159 |
| 15.4 15.3節（c1）と（c2）の証明 161 |
| 15.5 15.3節（e）の証明 163 |
| 15.6 条件付確率の帰納性 164 |
| 15.7 2変数の正規分布に対してのベイズの公式 165 |
| 15.8 ノイズのある観測値 166 |
| 15.9 カルマン・ビュシーのフィルター 168 |
| 15.10 たばねられたハーネス 169 |
| 15.11 ほどけたハーネスその1 171 |
| 15.12 ほどけたハーネスその2 171 |
| PartC 特性関数 173 |
| 16 特性関数の基本的性質 173 |
| 16.1 定義 173 |
| 16.2 基礎的な性質 174 |
| 16.3 特性関数の使用法 174 |
| 16.4 鍵となる3つの事実 175 |
| 16.5 アトム 176 |
| 16.6 レヴィの反転公式 176 |
| 16.7 表 179 |
| 17 弱収束 180 |
| 17.1 “エレガントな”定義 180 |
| 17.2 “実用的”設定 181 |
| 17.3 スコロホド表現 183 |
| 17.4 Prob（R）の点列コンパクト性 183 |
| 17.5 タイト性 185 |
| 18 中心極限定理 187 |
| 18.1 レヴィの収束定理 187 |
| 18.2 記号ｏとＯ 189 |
| 18.3 役に立つ評価式 189 |
| 18.4 中心極限定理（central Limit Theorem,CLT） 190 |
| 18.5 例 191 |
| 18.6 12.4節の補題の特性関数による証明 192 |
| 付録 195 |
| A 補遺 195 |
| E 演習問題 221 |
| 参考文献 237 |
| 訳者あとがき 241 |
| 索引 245 |
