第1章 対数のゆりかご-対数がどこで生まれ,どのように育ったか 1 |
1.1 数学的悪夢-そしてそこから目覚める 1 |
1.2 バロンの驚くべき「キャノン(対数表)」 4 |
1.3 ケプラーってどんな人 14 |
1.4 オイラーってどんな人 17 |
1.5 ネイピアの他のアイデア 21 |
第2章 調和級数 25 |
2.1 すべての出発点 25 |
2.2 Hnに対する母関数 26 |
2.3 3つの驚くべき結果 27 |
第3章 部分調和級数 32 |
3.1 穏やかな始まり 32 |
3.2 素数の調和級数 33 |
3.3 ケンプナー級数 37 |
3.4 マデルング定数 40 |
第4章 ゼータ関数 44 |
4.1 nが正の整数である場合 44 |
4.2 xが実数である場合 50 |
4.3 終わりに2つの結果 52 |
第5章 ガンマγの生まれた場所 54 |
5.1 降臨 54 |
5.2 誕生 57 |
第6章 ガンマ関数Γ 61 |
6.1 エキゾチックな定義 61 |
6.2 でも理屈の通った定義 64 |
6.3 大文字Γと小文字γの出合い 66 |
6.4 2つの公式 68 |
第7章 素晴らしき公式,オイラー積 70 |
7.1 まったく大事な公式 70 |
7.2 …と,その有用さへのヒント 71 |
第8章 果たされた約束 75 |
第9章 ガンマγって何?正確に! 80 |
9.1 ガンマγは存在する 80 |
9.2 ガンマγって…どういう数? 85 |
9.3 驚くほど十分に良くなりました 88 |
9.4 ある偉大なアイデアが生まれます 92 |
第10章 小数としてのガンマγ 94 |
10.1 ベルヌーイ数 94 |
10.2 オイラー・マクローリンの総和公式 99 |
10.3 2つの例を見ましょう 100 |
10.4 ガンマγに対する含蓄 103 |
第11章 分数としてのガンマγ 106 |
11.1 あるミステリー 106 |
11.2 あるチャレンジ 107 |
11.3 ある解答 109 |
11.4 3つの結果 111 |
11.5 無理数 112 |
11.6 解かれたペル方程式! 115 |
11.7 間を埋めると 115 |
11.8 調和級数の大事な変形 116 |
第12章 ガンマの値はいくつなの? 119 |
12.1 交代調和級数を再び 120 |
12.2 解析の中では 125 |
12.3 数論の中では 132 |
12.4 予想の中では 138 |
12.5 一般化の中では 138 |
第13章 世界は調和で満ちている 142 |
13.1 各種の平均値 142 |
13.2 幾何的調和 145 |
13.3 音楽的調和 147 |
13.4 記録更新 150 |
13.5 破壊検査 152 |
13.6 砂漠の横断 152 |
13.7 カードをシャッフルする 154 |
13.8 手早く並べ替える 155 |
13.9 完全セットを揃える 157 |
13.10 プットナム賞の問題から 159 |
13.11 最長の置き方 160 |
13.12 ゴムひもにいる虫 162 |
13.13 最適な選択 163 |
第14章 世界は対数で満ちている 169 |
14.1 不確実さを表す数値 170 |
14.2 ベンフォードの法則 177 |
14.3 連分数の振る舞い 189 |
第15章 素数をめぐる問題 198 |
15.1 素数に関するいくつかの難問 198 |
15.2 ささやかな始まり 200 |
15.3 ある種の答え 204 |
15.4 問題の全体像 206 |
15.5 エラトステネスのふるい 209 |
15.6 ヒューリスティックス(発見的方法) 210 |
15.7 ある手紙から 213 |
15.8 調和級数を使うと 219 |
15.9 違いはある-でも同じだけれど 220 |
15.10 本当の問題は2つ,3つではなく 222 |
15.11 チェビシェフの世界へ 223 |
15.12 リーマンの世界へ 228 |
第16章 リーマンの構想 231 |
16.1 リーマン流素数の数え方 231 |
16.2 新しい数学的道具 233 |
16.3 解析接続 234 |
16.4 リーマンのゼータ関数への拡張 236 |
16.5 ゼータ関数の関数等式 236 |
16.6 ゼータ関数の零点 237 |
16.7 Π(x)とπ(x)の評価 240 |
16.8 粉らわしい証拠 242 |
16.9 素数定理を証明する方法 245 |
16.10 リーマン仮説 248 |
16.11 この仮説が大切なのはなぜ? 251 |
16.12 実数だけを用いた定式化 252 |
16.13 永遠への戻り道-部分的に閉じている 254 |
16.14 古今東西,動機こそ進歩の原動力 258 |
16.15 発展の歴史と将来 261 |
付録A ギリシャ文字一覧 266 |
訳者あとがき 267 |
参考文献 271 |
索引 275 |
第1章 対数のゆりかご-対数がどこで生まれ,どのように育ったか 1 |
1.1 数学的悪夢-そしてそこから目覚める 1 |
1.2 バロンの驚くべき「キャノン(対数表)」 4 |
1.3 ケプラーってどんな人 14 |
1.4 オイラーってどんな人 17 |
1.5 ネイピアの他のアイデア 21 |