第1章 対称性と群 1 |
1.1 平面における対称性 1 |
1.2 空間における対称性(正四面体の回転を例として) 5 |
1.3 群の公理と抽象的な群 10 |
1. 公理 10 |
2. 群の例 12 |
3. 法nと巡回群 14 |
1.4 部分群と群の生成系 18 |
1. 正三角板の対称変換群 18 |
2. 正六角形の対称変換の群 20 |
3. 部分群 22 |
1.5 より複雑な群の例 26 |
1. あみだくじと置換の群 26 |
2. 行列の群 32 |
1.6 準同型と同型 34 |
1.7 群の直積 39 |
1.8 ラグランジュの定理と同値類 43 |
1. 剰余類 43 |
2. 共役類 47 |
1.9 発展 51 |
1. 群を解明する方法 51 |
2. 多面体の対称群 58 |
第2章 整数と多項式 64 |
2.1 整数 64 |
1. 約数・倍数・素数 65 |
2. Zのイデアル 67 |
3. ユークリッド互除法(Zの巻) 71 |
4. 素因数分解 74 |
5. 合同と同値関係 77 |
6. 中国剰余定理 80 |
7. フェルマの小定理 83 |
2.2 多項式 85 |
1. 約元・倍元・既約多項式 89 |
2. Κ[X]のイデアル 92 |
3. ユークリッド互除法(Κ[X]の巻) 95 |
4. 多項式の分解 97 |
5. 既約性の判定法(Κ=C,Rの場合) 98 |
6. アイゼンシュタインの判定条件 100 |
7. ガウスの補題 102 |
8. 既約性の判定法(K=Qの場合) 103 |
2.3 環 106 |
1. 代数系 106 |
2. 例 109 |
3. 整数環と多項式環 110 |
2.4 発展:単因子論(整数版)とアーベル群の構造 112 |
1. 整数行列の単因子論 112 |
2. 有限生成アーベル群の基本定理 116 |
2.5 発展:単因子論(多項式版)とジョルダン標準形 119 |
1. 多項式行列の単因子論 119 |
2. ジョルダン標準形 125 |
第3章 定木とコンパスによる方程式の解法と体 132 |
3.1 体について 132 |
1. 体とは? 132 |
2. p元体上の線形代数 134 |
3. p元体上の多項式環 136 |
3.2 複素数を有理数から眺める 136 |
1. 有理数の公理的定義 136 |
2. 幾何と代数方程式 137 |
3. 複素数体に含まれる体の例 140 |
3.3 ベクトル空間の次元と拡大次数 142 |
1. 部分体から拡大体を眺める(ベクトル空間として) 142 |
2. 拡大次数[K(r):K]の意味 146 |
3.4 体の歴史的問題 149 |
1. 方程式の解法 149 |
2. 体の萌芽(古典的問題) 150 |
3. 定木とコンパスを使って 152 |
3.5 歴史的問題の不可能性 154 |
1. 拡大の繰り返しと拡大次数 154 |
2. 角の三等分の不可能性 156 |
3.6 円分体 158 |
3.7 少し抽象的に 162 |
1. 素体(一番小さな体) 162 |
2. 有理関数体 165 |
3.8 代数学の基本定理の証明 167 |
3.9 発展 169 |
1. 代数閉体 169 |
2. 乗法が非可換な四則演算を持つ代数系 170 |
3. 正n角形の書き方 172 |
4. T字型定木とコンパスによる任意の角の三等分 172 |
第4章 整数論の楽しい話題 175 |
4.1 ピタゴラス数とn=4の場合のフェルマの最終定理 176 |
4.2 偶数の完全数 179 |
4.3 素数は無限個存在する.ではどのくらい? 181 |
4.4 自然数のベキ乗の有限和とベルヌイ数 186 |
4.5 自然数の偶数ベキ乗の逆数の無限和 190 |
4.6 オイラーの関数とメビウスの反転公式 193 |
4.7 RSA暗号 196 |
問題の略解 203 |
参考書 220 |
人物(数学者)一覧 222 |
索引 224 |
第1章 対称性と群 1 |
1.1 平面における対称性 1 |
1.2 空間における対称性(正四面体の回転を例として) 5 |
1.3 群の公理と抽象的な群 10 |
1. 公理 10 |
2. 群の例 12 |