| math stories刊行にあたって iv |
| はじめに vi |
| CHAPTER1 数学の考え方－方程式を例にして 1 |
| 1.1 つるかめ算から連立方程式へ 3 |
| 1.1.1 つるかめ算 3 |
| 1.1.2 自分で問題を作ってみよう 5 |
| 1.1.3 式を立てる 6 |
| 1.2 連立方程式から行列へ 10 |
| 1.2.1 3元連立方程式－古代中国の解法 10 |
| 1.2.2 行列の発見 13 |
| 1.2.3 行列の和と差，スカラー倍 15 |
| 1.2.4 行列の積 15 |
| 1.2.5 行列のわり算－単位行列と逆行列 17 |
| 1.2.6 3行3列の行列の逆行列 20 |
| 1.2.7 3行3列の行列式と逆行列 21 |
| 1.2.8 連立方程式の解法と行列の変形 23 |
| 1.3 幾何学的視点からみた連立方程式 28 |
| 1.3.1 連立方程式と函数のグラフ 28 |
| 1.3.2 連立方程式と線形空間・線形写像 30 |
| より抽象的な線形空間と線形写像 33 |
| CHAPTER2 数とは何か－古代ギリシアから19世紀実数論の完成まで 35 |
| 2.1 整数のもつ性質 37 |
| 2.1.1 結合法則と分配法則 37 |
| 2.1.2 ユークリッドの互除法 39 |
| 2.1.3 素因数分解の一意性 41 |
| 2.1.4 「素数は無限にある」ことの証明 43 |
| 2.1.5 最大公約数 44 |
| 2.1.6 イデアルの導入 45 |
| 2.2 整数の合同 48 |
| 2.2.1 合同 48 |
| 2.2.2 倍数の判定法への応用 51 |
| 2.3 分数と循環小数 53 |
| 2.3.1 分数の導入 53 |
| 2.3.2 循環小数 54 |
| 2.3.3 循環節の長さとオイラーの函数 57 |
| 2.4 新しい数の体系－可換環と有限体 61 |
| 2.4.1 可換環Z/nZ 61 |
| 2.4.2 Z/nZでわり算はできるか？ 64 |
| 2.4.3 有限体とフェルマーの小定理 66 |
| 2.4.4 オイラーの定理の証明 68 |
| 2.5 実数とは何か，どう定義できるのか？ 71 |
| 2.5.1 無理数の発見－プラトン『テアイテトス』より 71 |
| 2.5.2 カントールの実数論 74 |
| 2.5.3 デデキントの実数論 75 |
| 2.5.4 数列の収束とエプシロン・デルタ論法 77 |
| ヨーロッパ言語と日本語の違い 78 |
| 結合法則が成り立たない代数系 81 |
| CHAPTER3 座標－幾何から代数へ 83 |
| 3.1 三平方の定理と三角比 85 |
| 3.1.1 数を線分で表す－公式の図形的証明 85 |
| 3.1.2 三平方の定理 86 |
| 3.1.3 角度と三角比 88 |
| 3.1.4 一般の角の三角比 90 |
| 3.2 平面座標と三角函数 92 |
| 3.2.1 座標による三角函数の定義 92 |
| 3.2.2 余弦定理と三角函数の加法公式 94 |
| 弧度法－新しい角度の単位 98 |
| 3.3 幾何から代数へ－角の三等分と作図問題 99 |
| 3.3.1 標識定規を使えば，角は三等分することができる 99 |
| 三平方の定理，再訪 101 |
| 3.3.2 作図可能な数 102 |
| 3.3.3 体とその拡大 105 |
| 3.3.4 定規とコンパスだけでは角の三等分はできない 108 |
| 3.3.5 20°は定規とコンパスのみでは作図できない 114 |
| 3.3.6 作図の三大難問 117 |
| 座標幾何学 121 |
| CHAPTER4 ベクトルとベクトル空間 123 |
| 4.1 幾何ベクトルから数ベクトルへ 125 |
| 4.1.1 幾何ベクトル 125 |
| 4.1.2 ベクトルの分解と1次独立 127 |
| 4.1.3 ベクトル間の角度と内積 129 |
| 4.1.4 数ベクトルと平面座標 130 |
| 4.1.5 座標変換と行列の積 132 |
| 4.2 ベクトル空間 135 |
| 4.2.1 ベクトル空間の定義 135 |
| 4.2.2 1次独立 137 |
| 4.2.3 ベクトル空間の次元と基底 139 |
| 4.3 線形写像 143 |
| 4.3.1 線形写像の定義 143 |
| 4.3.2 連立方程式と線形写像 149 |
| 4.4 内積と内積空間－幾何ベクトルの復活 156 |
| 4.4.1 内積の定義 156 |
| 4.4.2 内積空間としての同型 158 |
| CHAPTER5 方程式を解く 161 |
| 5.1 多項式と方程式 163 |
| 5.1.1 多項式 163 |
| 5.1.2 方程式を解くことと，体の拡大 164 |
| 5.1.3 多項式はなぜ整数に似ているのか 166 |
| 5.1.4 多項式環のイデアル 167 |
| 2次方程式と根の公式 168 |
| 5.2 複素数 170 |
| 5.2.1 複素数の誕生 170 |
| 5.2.2 複素数の四則演算 171 |
| 5.2.3 複素数の極座標表示 172 |
| 5.2.4 ド・モアブルの公式 174 |
| ライプニッツの間違い 175 |
| 5.3 代数学の基本定理と3次・4次方程式の根 178 |
| 5.3.1 代数学の基本定理の証明の概要 178 |
| 5.3.2 1のn乗根と正多角形 180 |
| 5.3.3 3次方程式とカルダノの公式 181 |
| カルダノの公式と複素数 183 |
| 5.3.4 フェラリの4次方程式の解法 184 |
| 5.4 アーベルが考えたこと－方程式を代数的に解くことの意味 187 |
| 5.4.1 方程式を解くためには何が必要か 187 |
| 5.4.2 根の基本対称式 191 |
| 5.4.3 アーベルの定理－5次方程式はべき根を使って解くことはできない 193 |
| 5.5 ラグランジュからガロアへ－方程式と群 195 |
| 5.5.1 置換と対称群 195 |
| 5.5.2 群の定義といくつかの例 199 |
| 5.5.3 2次対称群S2と2次方程式の解法 203 |
| 5.5.4 3次対称群S3と3次方程式の解法 206 |
| 5.5.5 ラグランジュによる3次方程式の解法の意味するもの 210 |
| 5.5.6 4次対称群S4と4次方程式の解法 219 |
| 5.5.7 剰余類と剰余群 229 |
| 5.5.8 共役類と単純群 233 |
| 5.5.9 ガロア群 234 |
| 5.5.10 体上の自己同型写像とガロア群 237 |
| 5.5.11 体の正規拡大とガロア理論の基本定理 242 |
| 参考文献 246 |
| INDEX 247 |
| math stories刊行にあたって iv |
| はじめに vi |
| CHAPTER1 数学の考え方－方程式を例にして 1 |
| 1.1 つるかめ算から連立方程式へ 3 |
| 1.1.1 つるかめ算 3 |
| 1.1.2 自分で問題を作ってみよう 5 |
