第1章 可積分関数のフーリエ変換 1 |
1.1 フーリエの反転公式 1 |
1.1.1 フーリエ変換の定義 1 |
1.1.2 熱核に関する補題 3 |
1.1.3 反転公式の証明 6 |
1.2 基本的性質 7 |
1.2.1 関数の減少度と滑らかさ 7 |
1.2.2 合成積とフーリエ変換 9 |
1.3 急減少性質 11 |
1.4 熱方程式 14 |
1.5 L2でのフーリエ変換 16 |
第2章 解析関数とフーリエ変換 18 |
2.1 コーシーの積分公式とフーリエ変換 18 |
2.2 整関数に対するペーリー・ウィーナーの定理 21 |
2.3 ハーディ空間 23 |
2.4 上半平面におけるペーリー・ウィーナーの定理 27 |
第3章 1変数の超関数 29 |
3.1 定義と簡単な例 29 |
3.2 超関数の微分 32 |
3.3 超関数と微分方程式 36 |
3.4 超関数の収束 38 |
3.5 超関数のフーリエ変換 39 |
3.6 斉次超関数 41 |
第4章 多変数の超関数 46 |
4.1 多重指数とテイラー展開 46 |
4.2 曲面上の積分 48 |
4.2.1 局所的表示 48 |
4.2.2 大域的表示 52 |
4.3 多変数の超関数の定義 55 |
4.4 超関数の例 56 |
4.5 多変数のフーリエ変換 58 |
4.5.1 熱核 59 |
4.5.2 n変数のフーリエ変換 60 |
4.5.3 緩増加超関数とそのフーリエ変換 62 |
4.5.4 合成積とフーリエ変換 64 |
4.5.5 ペーリー・ウィーナー・シュワルツの定理 65 |
第5章 楕円型方程式 68 |
5.1 斉次超関数 68 |
5.1.1 デルタ関数再説 68 |
5.1.2 斉次超関数の拡張 70 |
5.1.3 主値超関数 72 |
5.1.4 有用な補題 73 |
5.1.5 球対象超関数 75 |
5.1.6 斉次超関数のフーリエ変換 76 |
5.2 基本解 79 |
5.2.1 基本解の定義 79 |
5.2.2 コンパクトな台を持つ超関数と合成積 80 |
5.2.3 合成積と基本解 83 |
5.2.4 基本解の構成に関する注意 84 |
5.3 ポアッソン方程式 85 |
5.4 ヘルムホルツ方程式 86 |
5.5 ソボレフ空間 90 |
5.6 楕円形方程式の解の正則性 94 |
5.7 コーシー・リーマン作用素の基本解 96 |
第6章 定常位相の方法 98 |
6.1 ガウス型関数のフーリエ変換 98 |
6.2 モースの補題 100 |
6.3 漸近展開 104 |
6.4 曲面上の幾何学の初歩 105 |
6.4.1 接空間 105 |
6.4.2 第1基本形式 106 |
6.4.3 法ベクトル 107 |
6.4.4 第2基本形式 108 |
6.4.5 曲率 110 |
6.5 曲面上での定常位相の方法 112 |
第7章 波動方程式 116 |
7.1 基本解 116 |
7.2 有限伝播性 120 |
7.3 双曲型方程式 121 |
7.4 波の伝播 123 |
7.5 特異台と波面集合 127 |
7.5.1 特異台 127 |
7.5.2 波面集合 128 |
7.5.3 特異性の伝播 133 |
補遺 135 |
A.1 ヘルダー・ミンコフスキーの不等式 135 |
A.2 フリードリックスの軟化子 137 |
A.3 ヒルベルト空間 139 |
A.4 関数解析の基礎概念 141 |
A.5 1次元ソブレフ空間 144 |
参考文献 148 |
索引 150 |