| 第1章 グレブナー基底の伊呂波 日比孝之 1 |
| 1.1 多項式環 2 |
| 1.1.1 単項式と多項式 2 |
| 1.1.2 Dicksonの補題 3 |
| 1.1.3 イデアル 5 |
| 1.1.4 単項式順序 9 |
| 1.1.5 グレブナー基底 12 |
| 1.1.6 Hilbert基底定理 13 |
| 1.2 割り算アルゴリズム 16 |
| 1.2.1 割り算アルゴリズム 16 |
| 1.2.2 被約グレブナー基底 20 |
| 1.3 Buchberger判定法とBuchbergerアルゴリズム 21 |
| 1.3.1 S多項式 22 |
| 1.3.2 Buchberger判定法 23 |
| 1.3.3 Buchbergerアルゴリズム 29 |
| 1.4 消去理論 33 |
| 1.4.1 消去定理 33 |
| 1.4.2 連立方程式の解法 37 |
| 1.5 トーリックイデアル 41 |
| 1.5.1 配置行列 42 |
| 1.5.2 二項式イデアル 42 |
| 1.5.3 トーリックイデアル 43 |
| 1.5.4 トーリック環 45 |
| 1.6 多項式環の剰余環とHilbert函数 50 |
| 1.6.1 剰余類と剰余環 50 |
| 1.6.2 Macaulayの定理 56 |
| 1.6.3 Hilbert函数 57 |
| 1.7 歴史的背景 61 |
| 参考文献 65 |
| 第2章 数学ソフトウェア受身稽古 清田龍義 68 |
| 2.1 KNOPPIX/Mathの利用 69 |
| 2.1.1 KNOPPIX/Mathの取得と作成 69 |
| 2.1.2 KNOPPIX/Mathの起動と終了 69 |
| 2.1.3 数学ソフトウェア関連について 70 |
| 2.2 ファイル操作：PCManファイルマネージャの利用 71 |
| 2.2.1 新規フォルダの作成 73 |
| 2.2.2 新規テキストファイル 73 |
| 2.3 端末の利用 74 |
| 2.3.1 ファイルー覧，ディレクトリの作成，移動 75 |
| 2.3.2 テキストファイルの表示 77 |
| 2.3.3 入出力の切り替え 78 |
| 2.3.4 文字コードの変換 79 |
| 2.3.5 nkf:Network Kanji Filter 82 |
| 2.4 数学ドキュメントの作成 85 |
| 2.4.1 TEXソースコードの作成 85 |
| 2.4.2 DVIファイルの作成 86 |
| 2.4.3 PDFファイルの作成 88 |
| 2.4.4 TEXソースコードの解説 88 |
| 2.4.5 数式の入力 89 |
| 2.4.6 TEXに画像を入れる 91 |
| 2.5 様々な数学ソフトウェア 92 |
| 2.5.1 動的幾何学ソフトウェアKSEG 93 |
| 2.5.2 動的数学ソフトウェアGeoGebra 99 |
| 2.5.3 実代数幾何学のための可視化surfファミリー 106 |
| 2.5.4 汎用数式処理システムMaxima 108 |
| 2.5.5 統計処理ソフトR 112 |
| 2.6 テキストエディタの活用：Emacs入門 113 |
| 2.6.1 Emacsの起動 113 |
| 2.6.2 テキストの削除，挿入 116 |
| 2.6.3 複数行の編集 117 |
| 2.6.4 削除ふたたび 120 |
| 2.6.5 ポイント/マーク/リージョン 120 |
| 2.6.6 編集操作のキャンセル 122 |
| 2.6.7 その他 122 |
| 2.6.8 日本語の取扱い 122 |
| 2.6.9 命令の実行，シェルの起動 123 |
| 2.6.10 数学ソフトウェア環境 124 |
| 2.7 仮想マシンの利用 124 |
| 2.7.1 種々の仮想マシン 125 |
| 2.8 USB-KNOPPIX/Mathの作成 126 |
| 2.8.1 f1ash-knoppixの起動 127 |
| 2.8.2 USBメモリーディスクの用意 127 |
| 2.8.3 USB起動KNOPPIXの作成手順 127 |
| 2.8.4 USBメモリーディスクからの起動 129 |
| 2.8.5 knoppix-data.imgの作成 129 |
| 2.8.6 USB-KNOPPIX/Mathへの追加 130 |
| 参考文献 130 |
| 第3章 グレブナー基底の計算法 野呂下行 132 |
| 3.1 この章の読み方 133 |
| 3.1.1 この章の構成 133 |
| 3.1.2 この章を読むための予備知識 133 |
| 3.2 Buchbergerアルゴリズムの効率化 134 |
| 3.2.1 不必要なペアの消去 136 |
| 3.2.2 ペアの選択方法 138 |
| 3.2.3 斉次化 139 |
| 3.2.4 Buchbergerアルゴリズム（改良された形） 140 |
| 3.3 数学ソフトウェアのためのソフトウェア環境 142 |
| 3.3.1 Linux 143 |
| 3.3.2 Windows 143 |
| 3.4 Macaulay2,SINGULAR,CoCoA上での計算 143 |
| 3.4.1 起動方法，へルプ，マニュアル 144 |
| 3.4.2 パッケージ，ライブラリの読み込み，ファイルの読み書き 147 |
| 3.4.3 基礎環の宣言，項順序と多項式の入力 149 |
| 3.4.4 グレブナー基底の計算 152 |
| 3.4.5 イニシャルイデアルの計算 155 |
| 3.4.6 商および剰余の計算 157 |
| 3.5 グレブナー基底を用いた種存のイデアル操作 160 |
| 3.5.1 消去順序 160 |
| 3.5.2 イデアルの和，積，共通部分 163 |
| 3.5.3 根基所属判定 164 |
| 3.5.4 イデアル商，saturation 166 |
| 3.5.5 根基計算 168 |
| 3.6 項順序変換 170 |
| 3.6.1 FGLM アルゴリズム 170 |
| 3.6.2 Hilbert drivenアルゴリズム 173 |
| 3.7 加群のグレブナー基底計算 174 |
| 3.7.1 多項式環上の自由加群における項順序 174 |
| 3.7.2 加群におけるBuchberger アルゴリズム 176 |
| 3.7.3 syzygyの計算 176 |
| 3.8 Risa/Asir上での計算 178 |
| 3.8.1 起動方法 178 |
| 3.8.2 へルプ，マニュアル 178 |
| 3.8.3 ファイルの読み書き 179 |
| 3.8.4 多項式の入力い 179 |
| 3.8.5 項順序 180 |
| 3.8.6 グレブナー基底の計算 181 |
| 3.8.7 イニシャルイデアルの計算 183 |
| 3.8.8 剰余計算 183 |
| 3.8.9 消去法 184 |
| 3.8.10 最小多項式の計算 184 |
| 3.8.11 0次元イデアルの項順序変換 185 |
| 3.8.12 イデアル演算 185 |
| 3.9 Macaulay2によるプログラミングの例 187 |
| 3.9.1 イデアルの準素分解 188 |
| 3.9.2 SYCIアルゴリズム 189 |
| 3.9.3 Macaulay2上での実装 191 |
| 3.10 章末問題 198 |
| 3.11 問題の略解 199 |
| 3.11.1 本文中の問題 199 |
| 3.11.2 章末問題 201 |
| 参考文献 202 |
| 第4章 マルコフ基底と実験計画法 青木敏・竹村彰通 204 |
| 4.1 分割表の条件付検定 205 |
| 4.1.1 十分統計量 205 |
| 4.1.2 2x2分割表 209 |
| 4.1.3 相似検定 217 |
| 4.1.4 I×J分割表 221 |
| 4.2 マルコフ基底 234 |
| 4.2.1 マルコフ基底 234 |
| 4.2.2 マルコフ基底の例 239 |
| 4.2.3 マルコフ基底とイデアル 244 |
| 4.3 実験計画法とマルコフ基底 249 |
| 4.3.1 2水準実験 249 |
| 4.3.2 組合せ配置データの解析 251 |
| 4.3.3 一部実施計画データの解析 261 |
| 4.4 研究課題 265 |
| 4.4.1 3元分割表の無3因子交互作用のマルコフ基底に関する話題 265 |
| 4.4.2 マルコフ基底の計算アルゴリズムとその改良に関する話題 266 |
| 4.4.3 実験計画データのモデリングに関する話題 268 |
| 参考文献 268 |
| 第5章 凸多面体とグレブナ 基底 大杉英史 271 |
| 5.1 凸多面体 272 |
| 5.1.1 凸多面体，凸多面錐 272 |
| 5.1.2 凸多面体の面 274 |
| 5.1.3 多面体的複体，扇 279 |
| 5.2 イニシャルイデアル 279 |
| 5.2.1 イニシャルイデアル 280 |
| 5.2.2 重みベクトルと単項式順序 280 |
| 5.2.3 普遍グレブナー基底 283 |
| 5.3 グレブナー扇とステイト多面体 284 |
| 5.3.1 単項イデアルのグレブナー扇 284 |
| 5.3.2 斉次イデアルのグレブナー扇とステイト多面体 287 |
| 5.4 トーリックイデアルのステイト多面体 294 |
| 5.4.1 サーキット集合とGraver基底 295 |
| 5.4.2 次数の上限 296 |
| 5.4.3 Lawrence持ち上げ 301 |
| 5.4.4 ステイト多面体の計算法 303 |
| 5.5 凸多面体の三角形分割とグレブナー基底 304 |
| 5.5.1 単模三角形分割 304 |
| 5.5.2 正則三角形分割 306 |
| 5.5.3 イニシャル複体 308 |
| 5.5.4 2次多面体とステイト多面体 314 |
| 5.6 配置行列にまつわる環論的性質と三角形分割 316 |
| 5.6.1 辞書式三角形分割と単模配置行列 316 |
| 5.6.2 逆辞書式三角形分割と圧搾配置行列 320 |
| 5.6.3 トーリック環の正規性 322 |
| 5.7 配置行列の例 325 |
| 5.7.1 有限グラフに付随する配置 325 |
| 5.7.2 分割表に付随する配置行列 328 |
| 参考文献 330 |
| 第6章 微分作用素環のグレブナー基底とその応用 高山信毅 332 |
| 6.1 有理式係数の微分作用素環Rにおけるグレブナー基底 333 |
| 6.2 Rの0次元イデアルとPfaffian方程式 340 |
| 6.3 Pfaffin方程式の解 343 |
| 6.4 ホロノミック関数 352 |
| 6.5 ホロノミック関数に対する勾配降下法 354 |
| 6.6 多項式係数の微分作用素環Dにおけるグレブナー基底 359 |
| 6.7 フィルター付けと重みベクトル 366 |
| 6.8 ホロノミック系 369 |
| 6.9 DとRの関係 372 |
| 6.10 積分アルゴリズム 374 |
| 6.11 積分で定義される関数の最小値問題 383 |
| 6.12 A-超幾何系 387 |
| 6.13 おわりに 399 |
| 参考文献 400 |
| 第7章 例題と解答 中山洋将・西山絢太 403 |
| 7.1 ソフトウェアに関する注意 404 |
| 7.2 マルコフ基底と実験計画法：例題と解答 405 |
| 7.2.1 分割表の条件付検定（41節） 405 |
| 7.2.2 マルコフ基底（4.2節） 408 |
| 7.2.3 実験計画法とマルコフ基底（4.3節） 424 |
| 7.3 凸多面体とグレブナー基底：例題と解答 429 |
| 7.3.1 凸多面体（5.1節） 429 |
| 7.3.2 イニシャルイデアル（5.2節） 440 |
| 7.3.3 グレブナー扇とステイト多面体（5.3節） 443 |
| 7.3.4 トーリックイデアルのステイト多面体（5.4節） 448 |
| 7.3.5 凸多面体の三角形分割とグレブナー基底（5.5節） 456 |
| 7.3.6 配置行列にまつわる環論的性質と三角形分割（5.6節） 469 |
| 7.3.7 配置行列の例（5.7節） 474 |
| 7.4 微分作用素環のグレブナー基底とその応用：例題と解答 480 |
| 7.4.1 Rにおけるグレブナー基底（6.1節） 481 |
| 7.4.2 Rの0次元イデアルとPね髄an方程式（6.2節） 496 |
| 7.4.3 Pfaffan方程式の解（63節） 503 |
| 7.4.4 ホロノミック関数（6.4節） 510 |
| 7.4.5 ホロノミック関数に対する勾配降下法（6.5節） 511 |
| 7.4.6 Dにおけるグレブナー基底（65節） 513 |
| 7.4.7 ホロノミック系（6.8節） 518 |
| 7.4.8 DとRの関係（69節） 523 |
| 7.4.9 積分アルゴリズム（610節） 526 |
| 7.4.10 積分で定義される関数の最小値問題（6.11節） 539 |
| 参考文献 543 |
| 索引 545 |
