| はじめに 1 |
| 第Ⅰ部 スペクトル解析の基礎理論 |
| 1. ランダム変動の表現とスペクトル 9 |
| 1.1 フーリエ級数 10 |
| 1.2 複素フーリエ級数 15 |
| 1.3 フーリエ積分 18 |
| 1.4 スペクトル概念の導入 20 |
| 1.5 フーリエ級数とフーリエ積分 22 |
| 2. 自己相関関数 25 |
| 2.1 自己相関関数の定義と意味 25 |
| 2.2 自己相関関数の一般的性質 33 |
| 3. 自己相関関数とスペクトルの関係 40 |
| 3.1 パワースペクトル 40 |
| 3.2 Wiener-Khintchineの公式 42 |
| 3.3 パワースペクトルの定義法 43 |
| 3.4 ランダム現象のパワースペクトルの例 48 |
| 4. 相互相関とクロススペクトル 52 |
| 4.1 相互相関関数の定義とその性質 52 |
| 4.1.1 相互相関関数 52 |
| 4.1.2 相互相関関数の性質 53 |
| 4.2 クロススペクトル 56 |
| 4.2.1 クロススペクトルのフーリエ成分による定義 56 |
| 4.2.2 クロススペクトルの意味 57 |
| 4.2.3 クロススペクトルの性質 61 |
| 4.2.4 コスペクトルとクオドスペクトル 62 |
| 4.3 コヒーレンスとフェイズ 63 |
| 5. 白色雑音のスペクトルと自己相関関数 67 |
| 5.1 パルス列の自己相関関数とスペクトル 67 |
| 5.1.1 矩形パルス 67 |
| 5.1.2 ランダムな矩形パルス列 69 |
| 5.2 デルタ関数 70 |
| 5.2.1 デルタ関数の導入 70 |
| 5.2.2 白色雑音 72 |
| 5.2.3 デルタ関数の原形 73 |
| 5.2.4 デルタ関数の積分 74 |
| 5.2.5 デルタ関数の微分 74 |
| 5.3 二つのインパルスのスペクトル 75 |
| 6. 定常性・エルゴード性 77 |
| 6.1 アンサンブル平均 77 |
| 6.2 定常性 78 |
| 6.3 エルゴード性 79 |
| 7. 情報エントロピーとスペクトル 83 |
| 7.1 情報とエントロピー 83 |
| 7.2 時系列の情報エントロピーと相関行列(Toeplitz行列) 85 |
| 7.3 相関行列とスペクトル 85 |
| 7.4 MIEMー最大エントロピースペクトル 86 |
| 7.5 自己回帰式(AR-auto-regression)との関係 88 |
| 7.6 Deconvolutionとの関係 89 |
| 7.7 MEMとBlackman-Tukey法との比較 91 |
| 8. フーリエ展開の意味 95 |
| 8.1 ベクトルの分解と関数の展開 95 |
| 8.1.1 関数とベクトル 95 |
| 8.1.2 ベクトルの直交と関数の直交 96 |
| 8.2 因子分析(経験的直交関数系展開) 97 |
| 8.3 Karhunen-Loeve展開 101 |
| 9. 確率密度と相関関数 103 |
| 9.1 確率密度関数と分布のモーメント 103 |
| 9.1.1 確率分布関数 103 |
| 9.1.2 確率密度関数 104 |
| 9.1.3 分布のモーメント,平均・分散 106 |
| 9.1.4 確率変数の変換 108 |
| 9.2 結合確率密度と相関関数 109 |
| 9.2.1 結合確率密度関数 109 |
| 9.2.2 期待値および自己相関・相互相関 110 |
| 9.2.3 相互相関の不等関係式 111 |
| 9.3 特性関数 112 |
| 9.3.1 特性関数の定義 112 |
| 9.3.2 分布モーメントと特性関数 112 |
| 9.3.3 キュムラント 113 |
| 9.3.4 確率変数の和と特性関数,確率密度関数 114 |
| 9.4 確率密度関数の直交展開 115 |
| 第Ⅱ部 データ処理の理論と方法 |
| 10. 線形システムの簡単な理論 121 |
| 10.1 応答関数とたたみ込み積分による入出力関係式 122 |
| 10.2 相関関数による入出力関係式 123 |
| 10.2.1 出力の自己相関関数と入力の自己相関関数 123 |
| 10.2.2 入出力の相互相関関数 124 |
| 10.3 スペクトルによる入出力の関係 125 |
| 10.3.1 出力スペクトルと入力スペクトル 125 |
| 10.3.2 入出力のクロススペクトルによる関係式 126 |
| 10.4 微分型システム表現の応答関数 129 |
| 10.4.1 常微分方程式によるシステムの表現 129 |
| 10.4.2 ラプラス変換と伝達関数 129 |
| 10.4.3 周波数応答 131 |
| 10.5 フーリエ変換とラプラス変換 137 |
| 10.6 数値フィルター 138 |
| 10.6.1 ろ波型フィルター 138 |
| 10.6.2 再帰型数値フィルター 141 |
| 10.6.3 プリホワイトニング 141 |
| 10.7 ランダム波のシミュレーション 142 |
| 10.7.1 フーリエ成分波の重ね合わせによる方法 142 |
| 10.7.2 線型応答系への入出力とシュミレーション法との関係 144 |
| 10.7.3 数値フィルターによる方法 145 |
| 10.7.4 スペクトル因子分解による方法 147 |
| 10.7.5 自己回帰式によるシミュレーション 152 |
| 11. スペクトル計算の誤差理論 154 |
| 11.1 ランダム変数の統計量の推定誤差 155 |
| 11.1.1 統計量の分散とバイアス 155 |
| 11.1.2 平均値χの推定誤差 156 |
| 11.1.3 2乗平均値χ2の推定誤差 158 |
| 11.2 相関法によるスペクトルの推定誤差 159 |
| 11.2.1 カイ2乗分布と自由度 159 |
| 11.2.2 自己相関関数の推定誤差 160 |
| 11.2.3 Blackman-Tukey法におけるスペクトル推定誤差 162 |
| 11.2.4 ウインドーについて 167 |
| 11.2.5 スペクトルの等価自由度 171 |
| 11.2.6 クロススペクトルの推定誤差 172 |
| 11.3 直接法・FFTによるスペクトルの推定誤差 172 |
| 11.3.1 自由度,変異係数 172 |
| 11.3.2 アンサンブル平均による平滑化 173 |
| 11.3.3 ウインドーによる平滑化 174 |
| 11.4 離散化にともなう誤差 175 |
| 11.5 サンプリング効果 177 |
| 12. データ処理の手法 183 |
| 12.1 プログラム三原則 183 |
| 12.2 Blackman-Tukey法 184 |
| 12.2.1 Blackman-Tukey法によるデータ処理の設計 184 |
| 12.2.2 Blackman-Tukey法によるスペクトルの計算 186 |
| 12.2.3 自己相関関数の推定法 188 |
| 12.2.4 相互相関とクロススペクトルの計算 189 |
| 12.2.5 B-T法によるスペクトル計算プログラム 191 |
| 12.3 FFT法 193 |
| 12.3.1 FFTのアルゴリズム 194 |
| 12.3.2 FFTによるスペクトルと相関関数 199 |
| 12.3.3 FFT法によるクロススペクトルと相互相関関数 205 |
| 12.3.4 演算時間の短縮率 206 |
| 12.3.5 FFT法のプログラム 206 |
| 12.3.6 相関法(Blackman-Tukey法)とFFT法との関係 208 |
| 12.4 MEM(最大エントロピー法) 210 |
| 12.4.1 MEMの考え方の要約 211 |
| 12.4.2 アルゴリズム 213 |
| 12.4.3 MEMの特徴と注意事項 222 |
| 12.4.4 MEMのプログラム 223 |
| 12.5 種々のスペクトル推定法の比較 225 |
| 12.6 フーリエ積分に関するFilonの数値計算法 226 |
| 13. さらにすすんだスペクトルの概念 237 |
| 13.1 時空相関および多次元スペクトル 237 |
| 13.1.1 時空相関関数 237 |
| 13.1.2 多次元スペクトル 238 |
| 13.1.3 壁に沿う乱流場の立体構造 238 |
| 13.2 高次の相関関数およびスペクトル 246 |
| 13.2.1 バイスペクトルの定義 246 |
| 13.2.2 バイスペクトルの物理的意味 248 |
| 13.2.3 波浪のバイスペクトル 250 |
| 13.3 回転スペクトル 254 |
| 13.3.1 ベクトル時系列のフーリエ変換 255 |
| 13.3.2 回転スペクトル 256 |
| 13.3.3 回転スペクトルと自己・相互スペクトルとの関係 258 |
| 13.3.4 二つのベクトル時系列のクロススペクトル 261 |
| 13.4 非定常スペクトル 264 |
| 13.4.1 発展スペクトル 265 |
| 13.4.2 瞬間パワースペクトル 268 |
| 13.4.3 一般化スペクトル 273 |
| 13.4.4 物理スペクトル 276 |
| 13.4.5 多重フィルタースペクトル 278 |
| 13.4.6 発達スペクトル 279 |
| 13.5 セプストラム(エコー解析) 280 |
| 13.6 位相スペクトル 283 |
| 13.7 Walshスペクトル 284 |
| 13.7.1 奇妙な直交関数系-Walsh関数系 284 |
| 13.7.2 Walshスペクトル 286 |
| 参考文献 288 |
| 索引 297 |
| 記号一覧表 |
| 主要公式一覧 |
