math stories 刊行にあたって iv |
はじめに vi |
CHAPTER1 変化を表す 1 |
1.1 いろいろなグラフ 3 |
1.1.1 図やグラフに表す 3 |
1.1.2 いろいろな方眼紙 5 |
片対数方眼紙 9 |
両対数方眼紙 10 |
マグニチュードは,1.5桁区切り? 11 |
素数の分布 12 |
三角眼紙 14 |
1.2 増大・減少を見る 19 |
1.2.1 倍々で増加する現象 19 |
“魔法の数”72 22 |
1.2.2 定率で減少する現象 22 |
1.2.3 驚くほどはやく増える階乗 24 |
1.3 近づく 27 |
1.3.1 連続複利金利のカラクリ 27 |
1.3.2 「極限」という概念 30 |
「アキレウスと亀」を超える論理 32 |
例と反例 33 |
1.3.3 自然対数の底,e 34 |
フラクタル図形 35 |
CHAPTER2 式で表す 37 |
2.1 数式で表す 39 |
2.1.1 比例式と反比例式 39 |
比と音階 40 |
2.1.2 円錐曲線 41 |
放物線 42 |
楕円と双曲線 43 |
2.1.3 不等式で表す 46 |
2.1.4 式に関する言葉 48 |
べきと累乗 49 |
多項式と単項式 50 |
1次分数式と1次変換 51 |
2.2 式を見る 55 |
2.2.1 (a+b)^nを調べる 55 |
急がば回れ 57 |
2.2.2 二項係数とパスカルの三角形 58 |
二項係数のみたす関係式 60 |
2.2.3 再び,(1+x/n)^n 61 |
もっとも簡単なべき級数 62 |
厳密でなければ数学ではない。しかし,…… 64 |
2.2.4 eの値を求める 65 |
電卓やコンピュータによる計算 68 |
2.2.5 指数法則を証明する 69 |
有名なインチキ証明 71 |
2.3 関数としてとらえる 73 |
2.3.1 さまざまな関数 73 |
もっとも極端な場合を含めて考える 76 |
2.3.2 逆関数を作る 76 |
2.3.3 陰関数と陽関数 81 |
常用関数の近似値 82 |
CHAPTER3 変化を読む 83 |
3.1 拡大して見る 85 |
3.1.1 拡大すれば「直線」 85 |
拡大しても直線に近づかない関数 87 |
3.1.2 「接線」の意味 88 |
楕円・放物線・双曲線の接線 89 |
3.1.3 「速度」の意味 92 |
古典力学の黎明期 93 |
3.1.4 接線を式で表す 94 |
3.2 連続性から読みとれること 97 |
3.2.1 連続関数の意味 97 |
関数の極限 97 |
関数の連続性 98 |
3.2.2 連続関数の性質 102 |
3点を通る放物線 102 |
3.2.3 中間値の定理 105 |
3.2.4 最大値の定理 109 |
見かけ上の不連続点 114 |
蛇足 115 |
数学を読み解くこと……直観と論理 116 |
3.3 微係数と導関数 118 |
3.3.1 微係数 118 |
3.3.2 導関数 121 |
微分の表記 122 |
3.3.3 微分の性質 124 |
積の増分 126 |
3.3.4 指数関数の微分 130 |
3.3.5 三角関数の微分 132 |
オイラーの公式 133 |
3.3.6 逆関数の微分 136 |
3.3.7 高階の導関数 140 |
多項式の微分法 141 |
3.4 関数の増減を読む 144 |
3.4.1 関数の山頂や谷底を調べる 144 |
3.4.2 関数の増減を判定する 152 |
「局所的」と「大域的」 153 |
「関数のグラフが近づく」vs「関数の値が近づく」 159 |
sinx,cosxのべき級数表示とオイラーの公式 164 |
3.4.3 増大の早さくらべ 165 |
0^0=1 167 |
3.4.4 テイラーの定理 168 |
曲率円 170 |
3.4.5 テイラー展開 171 |
解析関数と無限回微分可能な関数 173 |
CHAPTER4 変化を集める 175 |
4.1 面積をとらえる 177 |
4.1.1 原始関数と不定積分 177 |
4.1.2 「面積」とは何か? 180 |
放物線の弦と弧で囲まれた面積 183 |
4.1.3 面積を求めてみる 187 |
直観の通用しない「面積・体積」 190 |
4.2 積分する 192 |
4.2.1 積分の意味とリーマン和 192 |
連続性の度合(振幅)と一様連続性 193 |
4.2.2 積分の基本性質と微分積分学の基本定理 195 |
4.2.3 積分公式は微分の「逆引き」 197 |
テイラーの定理(精密化) 202 |
“積分祭” 203 |
4.3 積分でとらえる 204 |
4.3.1 体積を考える 204 |
「正当化」ではなく,「正統化」 206 |
カヴァリエリの原理 208 |
貯水槽の水位 210 |
4.3.2 数列の和と広義積分 212 |
相転移現象 214 |
4.4 微分方程式でとらえる 218 |
4.4.1 微分方程式とガリレイ 218 |
4.4.2 指数的増減を記述する微分方程式 220 |
4.4.3 微分方程式の解と漸近挙動 222 |
4.4.4 2 階の微分方程式の表す現象 225 |
高次元の微分方程式 228 |
「線形」と「線型」 231 |
4.4.5 微分方程式と線型性 232 |
関数を定める微分方程式 234 |
COLUMN |
ランダムな運動に法則を見出す(楠見明弘+藤原敬宏) 238 |
細胞膜の中で,分子はブラウン運動をしている 238 |
ランダム運動はニュートン力学で理解できるか?-うまい関数を見つける 240 |
細胞膜分子のブラウン運動は,細胞が少し制御していた-細胞研究にも関数が大切な役割をする 245 |
引用・参考文献,さらなる「数学の森」へのブックガイド 248 |
INDEX 250 |