1 ファジィ測度論の概要 |
1.1 ファジィ集合とファジィ測度 1 |
1.1.1 ベイグネス 1 |
1.1.2 アンビギュイティ 3 |
1.1.3 ファジィ測度とファジィ集合の関係 3 |
1.2 ファジィ測度と確率測度 4 |
1.2.1 ファジィ測度 4 |
1.2.2 確率測度 5 |
1.2.3 ファジィ測度と確率測度の関係 5 |
1.3 一般の測度と一般のファジィ測度 6 |
1.4 ファジィ理論とは独立な非加法的集合関数 7 |
1.4.1 容量 8 |
1.4.2 上界/下界確率 8 |
1.4.3 前測度 8 |
1.4.4 その他の数学の分野 9 |
1.4.5 帰納論理 9 |
1.4.6 意思決定論 9 |
1.4.7 ゲーム理論 10 |
1.4.8 エキスパートシステム 11 |
1.5 ファジィ測度の特殊形 11 |
1.5.1 可能性測度と必然性測度 12 |
1.5.2 分解可能測度 13 |
1.5.3 ビリーフ関数とプローザビリティ関数 14 |
1.5.4 上界/下界確率 14 |
1.5.5 特殊形間の関係 16 |
1.6 ファジィ積分 17 |
1.6.1 菅野積分 17 |
1.6.2 ヴェーバ積分 18 |
1.6.3 ショケ積分 18 |
1.6.4 統合的ファジィ積分 19 |
1.7 用語としての「ファジィ測度」 19 |
1.8 ファジィ測度の応用 20 |
1.8.1 確からしさの尺度 20 |
1.8.2 主観的評価のモデリング 20 |
1.8.3 ファジィ測度解析 21 |
1.9 本書の構成 22 |
引用文献 24 |
2 確からしさを表すファジィ測度 |
2.1 アンビギュイティの定式化 29 |
2.1.1 枠組み:Ωとωο 29 |
2.1.2 枠組みに関する仮定 30 |
2.1.3 数値表現に関する仮定 30 |
2.1.4 ファジィ測度の公理 31 |
2.1.5 双対測度 31 |
2.1.6 ディラック測度 32 |
2.2 確率測度と主観確率 32 |
2.2.1 確率の解釈 32 |
2.2.2 測度論的確率論と頻度論的解釈 33 |
2.2.3 主観確率と質的確率 35 |
2.2.4 主観確率の測定 36 |
2.3 非加法的主観確率 37 |
2.3.1 エルズバーグの壺の問題 38 |
2.3.2 非加法的主観率の導入 39 |
2.3.3 不確実性に対する態度 40 |
2.3.4 非加法的確率を導入しない立場について 41 |
2.4 エキスパートシステムと確率測度 43 |
引用文献 45 |
3 デンプスター・シェイファー理論 |
3.1 証拠の数学的表現 47 |
3.1.1 証拠が支持するもの 47 |
3.1.2 DS理論と確率論の違い 48 |
3.1.3 直接的支持と間接的支持 49 |
3.1.4 単純支持関数 51 |
3.1.5 基本確率割当 52 |
3.1.6 maとmbの結合 55 |
3.1.7 ビリーフ関数 57 |
3.1.8 焦点要素と核 58 |
3.1.9 ビリーフ関数と確率測度の関係 59 |
3.2 デンプスターの結合則 59 |
3.2.1 デンプスターの結合則の定義 59 |
3.2.2 焦点どうしが包含関係にある場合 61 |
3.2.3 焦点どうしが互いに排反の場合 62 |
3.2.4 証拠の独立性 64 |
3.2.5 直交和の代数的性質 65 |
3.3 条件付ビリーフ関数 66 |
3.3.1 条件付ビリーフ関数の定義 66 |
3.3.2 エキスパートシステムに関する問題 67 |
3.4 プロザビリティ関数 69 |
引用文献 71 |
4 可能性理論 |
4.1 可能性測度とその意味 73 |
4.1.1 様相論理 73 |
4.1.2 可能性測度と可能性分布関数 74 |
4.1.3 必然性測度 75 |
4.1.4 可能性測度の例 75 |
4.1.5 「可能性」の二つの意味 76 |
4.1.6 可能性/確率調和原理 77 |
4.2 数学的議論 78 |
4.2.1 可能性測度の数学的性質 78 |
4.2.2 DS理論との関連 79 |
4.2.3 無知を表す可能性測度 80 |
4.2.4 確率測度から可能性測度への変換 81 |
4.3 結合と正規性の問題 84 |
4.3.1 可能性分布の結合 84 |
4.3.2 無知と矛盾の区別 85 |
引用文献 85 |
5 上界/下界確率 |
5.1 区間値確率 87 |
5.2 上界/下界包絡 92 |
5.3 三種類の上界/下界確率の関係 94 |
5.3.1 ビリーフ関数と下界包絡の関係 95 |
5.3.2 区間値確率と上界/下界包絡の関係 99 |
5.3.3 上界/下界確率と確率測度の関係 100 |
引用文献 101 |
6 劣正規ファジィ測度 |
6.1 網羅性の除去 103 |
6.1.1 網l羅性の侵犯 103 |
6.1.2 一次的不確実性 104 |
6.1.3 二つの対処法 104 |
6.1.4 対処法1.全体集合の拡大 105 |
6.1.5 対処法2.劣正規ファジィ測度 105 |
6.2 劣正規DS理論 106 |
6.3 劣正規可能性理論 108 |
6.4 解釈の問題 110 |
6.4.1 「矛盾」と「ωο〓Ω」の関係 110 |
6.4.2 1-g(Ω)の意味するもの 111 |
6.4.3 劣正規ファジィ測度の使用上の注意 112 |
6.4.4 劣正規DS理論と劣正規可能性理論に関する注意 112 |
引用文献 113 |
7 ランダム集合 |
7.1 排反性の除去 115 |
7.1.1 排反性の侵犯 115 |
7.1.2 侵犯への二つの対処法 116 |
7.1.3 対処法1.枠組み(Ω,ωο)の変更 116 |
7.1.4 対処法2.Gのファジィ測度表現 118 |
7.1.5 正規性 119 |
7.2 ランダム集合 Gが確率測度の場合 120 |
7.2.1 ランダム集合のファジィ測度表現 121 |
7.3 補足 122 |
7.3.1 対象とする命題の種類 122 |
7.3.2 Ωが有限集合とは限らない一般の場合 123 |
7.3.3 数学におけるランダム集合 124 |
引用文献 124 |
8 測度と積分 |
8.1 測度とは 125 |
8.2 測度の定義と性質 129 |
8.2.1 測度の数学的性質 132 |
8.3 測度の例(ルベーグ測度と確率測度) 133 |
8.4 ルベーグ積分の定義と性質 137 |
8.4.1 可測関数 137 |
8.4.2 単関数 138 |
8.4.3 ルベーグ積分の定義 139 |
8.4.4 積分の数学的性質 143 |
8.5 積分の具体例 144 |
8.6 零集合と「ほとんどいたるところ」 145 |
8.7 有限集合上の測度と積分 147 |
引用文献 148 |
9 ファジィ測度とショケ積分 |
9.1 ファジィ測度 151 |
9.1.1 ファジィ測度の数学的定義 151 |
9.1.2 ファジィ測度の解釈 152 |
9.1.3 ファジィ測度の具体例 153 |
9.2 単関数のショケ積分 155 |
9.2.1 ショケ積分の具体例 157 |
9.2.2 ショケ積分の別表現 159 |
9.2.3 ショケ積分はルベーグ積分の拡張 160 |
9.3 一般の関数のショケ積分 161 |
9.3.1 ショケ積分のスティルチェス積分表現 164 |
9.3.2 ショケ積分の性質 164 |
9.4 ショケ積分の加法性 165 |
9.4.1 ショケ積分は一般に非加法的である 165 |
9.4.2 ショケ積分の優加法性と劣加法性 166 |
9.4.3 単調相似性と加法性 166 |
9.5 零集合 167 |
9.5.1 測度は零でも役割は零とは限らない 167 |
9.5.2 零集合の数学的定義 168 |
9.5.3 通常の測度論における零集合との関係 168 |
9.5.4 零集合の性質 169 |
9.5.5 零集合とショケ積分との関係 169 |
9.5.6 ほとんどいたるところ 169 |
9.5.7 零集合は全体集合のとり方に依存する 170 |
9.6 補足1 ファジィ測度の拡張,直積ファジィ測度,不定積分 171 |
9.6.1 広義のファジィ測度空間 171 |
9.6.2 ファジィ測度の拡張定理 172 |
9.6.3 直積ファジィ測度 173 |
9.6.4 不定積分 174 |
9.7 補足2 非単調ファジィ測度 174 |
9.8 被足3 尺度・測定論から見たファジィ測度 176 |
9.9 補足4 負の値をとる関数の積分 177 |
9.9.1 非加法的主観確率論におけるショケ積分 177 |
9.9.2 シポシュ積分 178 |
9.9.3 ショケ積分とシポシュ積分の違い 179 |
引用文献 179 |
付録 180 |
10 ファジィ測度とショケ積分の表現 |
10.1 ファジィ測度の表現 183 |
10.1.1 数学的定義 183 |
10.1.2 表現の具体例 184 |
10.1.3 表現の解釈 187 |
10.1.4 表現の存在 188 |
10.1.5 表現は無数に存在する 188 |
10.2 表現の同形性と普遍枠 190 |
10.2.1 同形性 190 |
10.2.2 表現の普遍枠 191 |
10.2.3 普遍枠の解釈 194 |
10.3 ショケ積分の表現 195 |
10.3.1 表現定理 195 |
10.3.2 表現の具体例 196 |
10.3.3 普遍枠の場合 197 |
10.4 補足DS理論の場合 198 |
引用文献 199 |
11 ファジィ積分 |
11.1 菅野積分とショケ積分 202 |
11.1.1 菅野積分 202 |
11.1.2 ショケ積分 203 |
11.2 t コノルム積分 204 |
11.2.1 分解可能測度 204 |
11.2.2 t コノルム系 205 |
11.2.3 t コノルム積分 206 |
11.3 t コノルム・ファジィ積分 208 |
11.3.1 t コノルムの減算 208 |
11.3.2 積分の定義 209 |
11.3.3 他のファジィ積分との関係 209 |
11.3.4 数学的性質 211 |
11.4 分解可能測定に関するショケ積分 リスクに対する態度 211 |
11.5 ランダム集合に関する積分 215 |
引用文献 219 |
〔付録1〕 220 |
〔付録2〕 222 |
付録A 数学的準備 |
A.1 集合と集合族 225 |
A.2 写像と関数 231 |
A.3 代数系 238 |
A.4 濃度 245 |
付録B 測度論の数学的基礎 |
B.1 本文の補足 251 |
B.2 測度の拡張とルベーグースティルチェス積分 258 |
B.3 直積測度とフビニの定理 262 |
B.4 符号付測度とラドンーニコディムの定理 265 |
付録C 測度論的確率論の初歩 |
C.1 確率空間 267 |
C.2 無限個の事象とσ加法性 269 |
C.3 非可算集合上の確率測度 273 |
C.4 ランダム変数(確率変数)と分布関数 277 |
引用文献 281 |
索引 283 |