0. 国際数学オリンピックの歴史と日本の取り組み 1 |
国際数学オリンピックの歴史 1 |
日本のIMOへの参加 1 |
IMOにおけるコンテスト 2 |
日本代表を選出するための国内大会 3 |
これからの取り組み 5 |
1. 不等式 6 |
1.1 有名不等式 6 |
相加・相乗平均の不等式 7 |
Muirheadの不等式 8 |
複雑な計算について 12 |
Schurの不等式 14 |
Houlderの不等式 15 |
その他の有名不等式 17 |
1.2 解析的方法 18 |
凸不等式(Jensenの不等式) 18 |
偏微分 22 |
コンパクト集合と最大値の定理 23 |
Lagrangeの未定乗数法 25 |
1.3 小技集 26 |
項ごとに評価 26 |
特殊な変数変換 28 |
1.4 JMO・IMOの問題 31 |
2. 関数方程式 39 |
2.1 記法 39 |
2.2 考え方 40 |
答えの予想 40 |
場合分け 40 |
自由度のある量を固定する 41 |
どのような値を代入するか 41 |
十分性の確認 41 |
2.3 全射・単射・単調性 41 |
2.4 よくある議論 47 |
考えやすい形に持ち込む 47 |
帰納法 47 |
QからRへ 47 |
周期性 50 |
2.5 数論的な関数方程式 51 |
2.6 問題例 52 |
3. 組合せ 61 |
3.1 基本的な方針 61 |
nが小さい場合で実験する 61 |
反例をつくろうとしてみる 62 |
不変量を見つける 63 |
部分的な結果がわかった場合も書く 63 |
3.2 小ネタ 63 |
母関数 63 |
塗り分け 64 |
ランダムあるいは平均化 67 |
他分野の可能性 67 |
グラフ理論 68 |
3.3 思考過程 69 |
4. 幾何-初等幾何による解法- 71 |
4.1 基本的な方針・考え方 71 |
基本戦略 71 |
結論から辿る 71 |
わかりやすい・わかりにくい条件 72 |
図を描く順番 72 |
4.2 雑多な内容 72 |
反転について 72 |
相似の利用 74 |
根軸 78 |
「一定の~~」を求める問題 78 |
有向角・符号付面積 81 |
三角形の各所の長さ 82 |
射影幾何の4つの定理 82 |
複比と調和点列 86 |
4.3 よく出てくる構図 89 |
4.4 思考過程 93 |
5. 幾何-計算による解法- 96 |
5.1 基本的な考え方 97 |
計算をはじめる前に 97 |
文字のおき方 98 |
5.2 直交座標 99 |
直線の方程式 99 |
2直線の交点の求め方 100 |
三角形の五心 101 |
問題例 103 |
幾何の問題と検算 104 |
練習問題 : 直交座標 105 |
5.3 三角関数 106 |
記号の使い方 107 |
和積の公式と積和の公式 107 |
問題例 108 |
練習問題 : 三角関数 110 |
5.4 複素座標 110 |
複素座標の利点 111 |
基本的な計算 111 |
円に関する定理 115 |
三角形の五心(再考) 116 |
問題例 118 |
練習問題 : 複素座標 121 |
5.5 練習問題の解答 123 |
直交座標 123 |
三角関数 127 |
複素座標 130 |
6. 整数論 140 |
6.1 Euclidの互除法 141 |
6.2 中国剰余定理 142 |
6.3 Fermatの小定理,Eulerの定理 143 |
6.4 位数 144 |
6.5 原始根 145 |
素数の場合 145 |
一般の場合 146 |
6.6 平方剰余 148 |
6.7 素数pについてのオーダー 151 |
x^n-y^nのオーダー 151 |
実際の問題例 153 |
6.8 不等式評価 157 |
6.9 整数解を求める問題 158 |
6.10 無限降下法 159 |
6.11 modpにおける方程式 160 |
6.12 問題の解答 162 |
中国剰余定理 163 |
Fermatの小定理,Eulerの定理 163 |
原始根 164 |
平方剰余 165 |
素数pについてのオーダー 168 |
無限降下法 175 |
modpにおける方程式 177 |
索引 181 |
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