math stories刊行にあたって iv |
はじめに vi |
CHAPTER1 数学の考え方-方程式を例にして 1 |
1.1 つるかめ算から連立方程式へ 3 |
1.1.1 つるかめ算 3 |
1.1.2 自分で問題を作ってみよう 5 |
1.1.3 式を立てる 6 |
1.2 連立方程式から行列へ 10 |
1.2.1 3元連立方程式-古代中国の解法 10 |
1.2.2 行列の発見 13 |
1.2.3 行列の和と差,スカラー倍 15 |
1.2.4 行列の積 15 |
1.2.5 行列のわり算-単位行列と逆行列 17 |
1.2.6 3行3列の行列の逆行列 20 |
1.2.7 3行3列の行列式と逆行列 21 |
1.2.8 連立方程式の解法と行列の変形 23 |
1.3 幾何学的視点からみた連立方程式 28 |
1.3.1 連立方程式と函数のグラフ 28 |
1.3.2 連立方程式と線形空間・線形写像 30 |
より抽象的な線形空間と線形写像 33 |
CHAPTER2 数とは何か-古代ギリシアから19世紀実数論の完成まで 35 |
2.1 整数のもつ性質 37 |
2.1.1 結合法則と分配法則 37 |
2.1.2 ユークリッドの互除法 39 |
2.1.3 素因数分解の一意性 41 |
2.1.4 「素数は無限にある」ことの証明 43 |
2.1.5 最大公約数 44 |
2.1.6 イデアルの導入 45 |
2.2 整数の合同 48 |
2.2.1 合同 48 |
2.2.2 倍数の判定法への応用 51 |
2.3 分数と循環小数 53 |
2.3.1 分数の導入 53 |
2.3.2 循環小数 54 |
2.3.3 循環節の長さとオイラーの函数 57 |
2.4 新しい数の体系-可換環と有限体 61 |
2.4.1 可換環Z/nZ 61 |
2.4.2 Z/nZでわり算はできるか? 64 |
2.4.3 有限体とフェルマーの小定理 66 |
2.4.4 オイラーの定理の証明 68 |
2.5 実数とは何か,どう定義できるのか? 71 |
2.5.1 無理数の発見-プラトン『テアイテトス』より 71 |
2.5.2 カントールの実数論 74 |
2.5.3 デデキントの実数論 75 |
2.5.4 数列の収束とエプシロン・デルタ論法 77 |
ヨーロッパ言語と日本語の違い 78 |
結合法則が成り立たない代数系 81 |
CHAPTER3 座標-幾何から代数へ 83 |
3.1 三平方の定理と三角比 85 |
3.1.1 数を線分で表す-公式の図形的証明 85 |
3.1.2 三平方の定理 86 |
3.1.3 角度と三角比 88 |
3.1.4 一般の角の三角比 90 |
3.2 平面座標と三角函数 92 |
3.2.1 座標による三角函数の定義 92 |
3.2.2 余弦定理と三角函数の加法公式 94 |
弧度法-新しい角度の単位 98 |
3.3 幾何から代数へ-角の三等分と作図問題 99 |
3.3.1 標識定規を使えば,角は三等分することができる 99 |
三平方の定理,再訪 101 |
3.3.2 作図可能な数 102 |
3.3.3 体とその拡大 105 |
3.3.4 定規とコンパスだけでは角の三等分はできない 108 |
3.3.5 20°は定規とコンパスのみでは作図できない 114 |
3.3.6 作図の三大難問 117 |
座標幾何学 121 |
CHAPTER4 ベクトルとベクトル空間 123 |
4.1 幾何ベクトルから数ベクトルへ 125 |
4.1.1 幾何ベクトル 125 |
4.1.2 ベクトルの分解と1次独立 127 |
4.1.3 ベクトル間の角度と内積 129 |
4.1.4 数ベクトルと平面座標 130 |
4.1.5 座標変換と行列の積 132 |
4.2 ベクトル空間 135 |
4.2.1 ベクトル空間の定義 135 |
4.2.2 1次独立 137 |
4.2.3 ベクトル空間の次元と基底 139 |
4.3 線形写像 143 |
4.3.1 線形写像の定義 143 |
4.3.2 連立方程式と線形写像 149 |
4.4 内積と内積空間-幾何ベクトルの復活 156 |
4.4.1 内積の定義 156 |
4.4.2 内積空間としての同型 158 |
CHAPTER5 方程式を解く 161 |
5.1 多項式と方程式 163 |
5.1.1 多項式 163 |
5.1.2 方程式を解くことと,体の拡大 164 |
5.1.3 多項式はなぜ整数に似ているのか 166 |
5.1.4 多項式環のイデアル 167 |
2次方程式と根の公式 168 |
5.2 複素数 170 |
5.2.1 複素数の誕生 170 |
5.2.2 複素数の四則演算 171 |
5.2.3 複素数の極座標表示 172 |
5.2.4 ド・モアブルの公式 174 |
ライプニッツの間違い 175 |
5.3 代数学の基本定理と3次・4次方程式の根 178 |
5.3.1 代数学の基本定理の証明の概要 178 |
5.3.2 1のn乗根と正多角形 180 |
5.3.3 3次方程式とカルダノの公式 181 |
カルダノの公式と複素数 183 |
5.3.4 フェラリの4次方程式の解法 184 |
5.4 アーベルが考えたこと-方程式を代数的に解くことの意味 187 |
5.4.1 方程式を解くためには何が必要か 187 |
5.4.2 根の基本対称式 191 |
5.4.3 アーベルの定理-5次方程式はべき根を使って解くことはできない 193 |
5.5 ラグランジュからガロアへ-方程式と群 195 |
5.5.1 置換と対称群 195 |
5.5.2 群の定義といくつかの例 199 |
5.5.3 2次対称群S2と2次方程式の解法 203 |
5.5.4 3次対称群S3と3次方程式の解法 206 |
5.5.5 ラグランジュによる3次方程式の解法の意味するもの 210 |
5.5.6 4次対称群S4と4次方程式の解法 219 |
5.5.7 剰余類と剰余群 229 |
5.5.8 共役類と単純群 233 |
5.5.9 ガロア群 234 |
5.5.10 体上の自己同型写像とガロア群 237 |
5.5.11 体の正規拡大とガロア理論の基本定理 242 |
参考文献 246 |
INDEX 247 |
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CHAPTER1 数学の考え方-方程式を例にして 1 |