| あなたへ ⅰ |
| プロローグ xi |
| 第1章 鏡のモノローグ 1 |
| 1.1 正直者は誰？ 1 |
| 1.1.1 鏡よ鏡 1 |
| 1.1.2 正直者は誰？ 3 |
| 1.1.3 同じ答え 6 |
| 1.1.4 沈黙という答え 8 |
| 1.2 論理クイズ 9 |
| 1.2.1 アリスとボリスとクリス 9 |
| 1.2.2 表で考える 10 |
| 1.2.3 出題者の気持ち 14 |
| 1.3 帽子は何色？ 15 |
| 1.3.1 わかりません 15 |
| 1.3.2 出題者の確認 18 |
| 1.3.3 鏡のモノローグ 19 |
| 第2章 ペアノ・アリスメティック 23 |
| 2.1 テトラちゃん 23 |
| 2.1.1 ペアノの公理 23 |
| 2.1.2 無数の願い 27 |
| 2.1.3 ペアノの公理PA1 28 |
| 2.1.4 ペアノの公理PA2 29 |
| 2.1.5 大きく育つ 32 |
| 2.1.6 ペアノの公理PA3 34 |
| 2.1.7 小さい？ 35 |
| 2.1.8 ペアノの公理PA4 36 |
| 2.2 ミルカさん 39 |
| 2.2.1 ペアノの公理PA5 42 |
| 2.2.2 数学的帰納法 43 |
| 2.3 無数の歩みの中に 49 |
| 2.3.1 有限か、無限か 49 |
| 2.3.2 動的か、静的か 50 |
| 2.4 ユーリ 51 |
| 2.4.1 加算は？ 51 |
| 2.4.2 公理は？ 53 |
| 第3章 ガリレオのためらい 57 |
| 3.1 集合 57 |
| 3.1.1 美人の集合 57 |
| 3.1.2 外延的定義 58 |
| 3.1.3 食卓 60 |
| 3.1.4 空集合 60 |
| 3.1.5 集合の集合 62 |
| 3.1.6 共通部分 64 |
| 3.1.7 和集合 66 |
| 3.1.8 包含関係 67 |
| 3.1.9 集合を考える理由 69 |
| 3.2 論理 70 |
| 3.2.1 内包的定義 70 |
| 3.2.2 ラッセルのパラドックス 72 |
| 3.2.3 集合演算と論理演算 74 |
| 3.3 無限 76 |
| 3.3.1 全単射の鳥かご 76 |
| 3.3.2 ガリレオのためらい 80 |
| 3.4 表現 83 |
| 3.4.1 帰路 83 |
| 3.4.2 書店 84 |
| 3.5 沈黙 85 |
| 3.5.1 美人の集合 85 |
| 第4章 限りなく近づく目標地点 87 |
| 4.1 自宅 87 |
| 4.1.1 ユーリ 87 |
| 4.1.2 男の子の《証明》 88 |
| 4.1.3 ユーリの《証明》 89 |
| 4.1.4 ユーリの《疑惑〉 91 |
| 4.1.5 僕の説明 92 |
| 4.2 スーパー 95 |
| 4.2.1 目標地点 95 |
| 4.3 音楽室 99 |
| 4.3.1 文字の導入 99 |
| 4.3.2 極限 101 |
| 4.3.3 音楽は音で決まる 103 |
| 4.3.4 極限の計算 105 |
| 4.4 帰路 114 |
| 4.4.1 進路 114 |
| 第5章 ライプニッツの夢 117 |
| 5.1 ユーリならばテトラちゃんではない 117 |
| 5.1.1 《ならば》の意味 117 |
| 5.1.2 ライプニッツの夢 120 |
| 5.1.3 理性の限界？ 122 |
| 5.2 テトラちゃんならばユーリではない 123 |
| 5.2.1 受験勉強 123 |
| 5.2.2 授業 125 |
| 5.3 ミルカさんならばミルカさんである 127 |
| 5.3.1 教室 127 |
| 5.3.2 形式的体系 128 |
| 5.3.3 論理式 130 |
| 5.3.4 《ならば》の形 132 |
| 5.3.5 公理 135 |
| 5.3.6 証明論 136 |
| 5.3.7 推論規則 138 |
| 5.3.8 証明と定理 140 |
| 5.4 僕ではない、または僕である 142 |
| 5.4.1 自宅 142 |
| 5.4.2 形の形 143 |
| 5.4.3 意味の意味 145 |
| 5.4.4 《ならば》ならば？ 146 |
| 5.4.5 お誘い 151 |
| 第6章 イプシロン・デルタ 153 |
| 6.1 数列の極限 153 |
| 6.1.1 図書室から 153 |
| 6.1.2 階段教室へ 154 |
| 6.1.3 複雑な式を理解する方法 158 |
| 6.1.4 《絶対値》を読む 160 |
| 6.1.5 《ならば》を読む 163 |
| 6.1.6 《すべて》と《ある》を読む 165 |
| 6.2 関数の極限 168 |
| 6.2.1 ε-δ 168 |
| 6.2.2 ε-δの意味 172 |
| 6.3 実力テスト 173 |
| 6.3.1 ランクイン 173 |
| 6.3.2 静寂の音、沈黙の声 174 |
| 6.4 連続の定義 175 |
| 6.4.1 図書室 175 |
| 6.4.2 すべての点で不連続 178 |
| 6.4.3 一点で連続な関数？ 180 |
| 6.4.4 無限の迷宮からの脱出 181 |
| 6.4.5 一点で連続な関数! 182 |
| 6.4.6 語るべき言葉 186 |
| 第7章 対角線論法 191 |
| 7.1 数列の数列 191 |
| 7.1.1 可算集合 191 |
| 7.1.2 対角線論法 195 |
| 7.1.3 挑戦 : 実数の番号付け 203 |
| 7.1.4 挑戦 : 有理数と対角線論法 206 |
| 7.2 形式的体系の形式的体系 209 |
| 7.2.1 無矛盾性と完全性 209 |
| 7.2.2 ゲーデルの不完全性定理 216 |
| 7.2.3 算術 218 |
| 7.2.4 形式的体系の形式的体系 219 |
| 7.2.5 言葉の整理 222 |
| 7.2.6 数項 223 |
| 7.2.7 対角化 224 |
| 7.2.8 数学の定理 227 |
| 7.3 探し物の探し物 227 |
| 7.3.1 遊園地 227 |
| 第8章 二つの孤独が生み出すもの 233 |
| 8.1 重なるペア 233 |
| 8.1.1 テトラちゃんが気づいたこと 233 |
| 8.1.2 僕が気づいたこと 239 |
| 8.1.3 誰も気づかないこと 240 |
| 8.2 自宅 241 |
| 8.2.1 自分の数学 241 |
| 8.2.2 表現の圧縮 241 |
| 8.2.3 足し算の定義 245 |
| 8.2.4 教師の存在 247 |
| 8.3 同値関係 248 |
| 8.3.1 卒業式 248 |
| 8.3.2 ペアが生み出すもの 250 |
| 8.3.3 自然数から整数へ 251 |
| 8.3.4 グラフ 252 |
| 8.3.5 同値関係 257 |
| 8.3.6 商集合 260 |
| 8.4 レストラン 264 |
| 8.4.1 二人の食事 264 |
| 8.4.2 一対の翼 265 |
| 8.4.3 無力テスト 266 |
| 第9章 とまどいの螺旋階段 269 |
| 9.1 0/3πラジアン 269 |
| 9.1.1 不機嫌なユーリ 269 |
| 9.1.2 三角関数 271 |
| 9.1.3 sin45° 274 |
| 9.1.4 sin60° 278 |
| 9.1.5 サインカーブ 282 |
| 9.2 2/3πラジアン 287 |
| 9.2.1 ラジアン 287 |
| 9.2.2 教えること 289 |
| 9.3 4/3πラジアン 290 |
| 9.3.1 休講 290 |
| 9.3.2 剰余 291 |
| 9.3.3 灯台 293 |
| 9.3.4 浜辺 294 |
| 9.3.5 消毒 297 |
| 第10章 ゲーデルの不完全性定理 299 |
| 10.1 双倉図書館 299 |
| 10.1.1 エントランス 299 |
| 10.1.2 クローリン 300 |
| 10.2 ヒルベルト計画 302 |
| 10.2.1 ヒルベルト 302 |
| 10.2.2 クイズ 304 |
| 10.3 ゲーデルの不完全性定理 308 |
| 10.3.1 ゲーデル 308 |
| 10.3.2 ディスカッション 309 |
| 10.3.3 証明のアウトライン 311 |
| 10.4 《春》形式的体系P 312 |
| 10.4.1 基本記号 312 |
| 10.4.2 数項と記号 313 |
| 10.4.3 論理式 314 |
| 10.4.4 公理 315 |
| 10.4.5 推論規則 317 |
| 10.5 ランチタイム 318 |
| 10.5.1 メタ数学 318 |
| 10.5.2 数学を数学する 319 |
| 10.5.3 目覚め 319 |
| 10.6 《夏》ゲーデル数 321 |
| 10.6.1 基本記号のゲーデル数 321 |
| 10.6.2 列のゲーデル数 322 |
| 10.7 《秋》原始再帰性 324 |
| 10.7.1 原始再帰的関数 324 |
| 10.7.2 原始再帰的関数（述語）の性質 326 |
| 10.7.3 表現定理 328 |
| 10.8 《冬》証明可能性へ至る長い長い旅 330 |
| 10.8.1 装備を整える 330 |
| 10.8.2 整数論 331 |
| 10.8.3 列 333 |
| 10.8.4 変数・記号・論理式 335 |
| 10.8.5 公理・定理・形式的証明 343 |
| 10.9 《新春》決定不能な文 347 |
| 10.9.1 《季節》の確認 347 |
| 10.9.2 《種》意味の世界から形式の世界へ 348 |
| 10.9.3 《芽》ρの定義 351 |
| 10.9.4 《枝》γの定義 351 |
| 10.9.5 《葉》A1からの流れ 352 |
| 10.9.6 《雷》B1からの流れ 353 |
| 10.9.7 決定不能な文の定義 353 |
| 10.9.8 《梅》￢IsProvable(g)の証明 354 |
| 10.9.9 《桃》￢IsProvable(not(g))の証明 355 |
| 10.9.10 《桜》形式的体系Pが不完全であることの証明 357 |
| 10.10 不完全性定理の意義 359 |
| 10.10.1 《私は証明できない》 359 |
| 10.10.2 第二不完全性定理の証明の概略 363 |
| 10.10.3 不完全性定理が生み出すもの 365 |
| 10.10.4 数学の限界？ 366 |
| 10.11 夢を乗せて 368 |
| 10.11.1 終わりではなく 368 |
| 10.11.2 僕のもの 369 |
| エピローグ 373 |
| あとがき 377 |
| 参考文献と読書案内 381 |
| 索引 387 |
図書
