| まえがき iii |
| 第1章 ロルの定理を見直す 1 |
| 1.1 微分積分学の根底に流れているもの 2 |
| 1.1.1 近代の世界観を生んだ微分積分学 2 |
| 1.1.2 微分積分学と実数の連続性 2 |
| 1.1.3 実数の連続性から位相空間論へ 3 |
| 1.2 微分係数と微分、導関数 4 |
| 1.2.1 高等学校での微分の定義 4 |
| 1.2.2 リミット(lim)をやめてしまおう？ 5 |
| 1.2.3 微分の数式を日本語に翻訳すると？ 7 |
| 1.2.4 「微分」という名詞と「微分する」という動詞 8 |
| 1.2.5 微分と導関数との関係 9 |
| 1.2.6 微分と関数の変化の様子との関係 12 |
| 1.3 平均値の定理、テーラーの定理を見直す 14 |
| 1.3.1 平均値の定理を見直す 14 |
| 1.3.2 平均値の定理のもとになるロルの定理 15 |
| 1.3.3 テーラーの定理を理解する 18 |
| 1.4 テーラーの定理の内容 21 |
| 1.4.1 関数とは、そもそも何か？ 21 |
| 1.4.2 微分可能な関数のマクローリン展開 24 |
| 1.5 ロルの定理を証明してみる 27 |
| 1.5.1 ロルの定理とその証明 27 |
| 1.5.2 ロルの定理の物理的な意味 29 |
| 1.5.3 ロルの定理の証明に穴はあるか？ 30 |
| 第2章 実数の連続性ということ 33 |
| 2.1 ロルの定理の問題点 34 |
| 2.1.1 連続関数と最大値･最小値の存在 34 |
| 2.1.2 開区間と閉区間の大きな違い 34 |
| 2.2 実数の性質(1)四則演算と大小 38 |
| 2.2.1 数と等号･不等号 39 |
| 2.2.2 数と四則演算 40 |
| 2.2.3 不等号と演算 43 |
| 2.3 実数の性質(2)稠密性とアルキメデス性 43 |
| 2.3.1 稠密性 43 |
| 2.3.2 アルキメデス性 44 |
| 2.4 実数の性質(3)連続性と切断公理 46 |
| 2.4.1 実数Rの切断 46 |
| 2.4.2 整数Zの切断と有理数Qの切断 48 |
| 2.4.3 デデキントの切断公理 49 |
| 2.5 有界集合の上限･下限の存在 50 |
| 2.5.1 有界な集合とは？ 50 |
| 2.5.2 有界集合の上限･下限の存在の証明 52 |
| 2.6 有界単調数列の極限値の存在 55 |
| 2.6.1 数列の極限値 55 |
| 2.6.2 数列の収束性の2つの定義 56 |
| 2.6.3 数列の収束から見た実数の連続性 61 |
| 2.6.4 指数関数の底eが存在すること 63 |
| 2.7 区間縮小法の原理 66 |
| 2.7.1 閉区間･開区間とその縮小列 66 |
| 2.7.2 開区間の縮小列の性質 68 |
| 2.7.3 閉区間縮小法の原理 69 |
| 2.7.4 √2は本当にあるのか？ 71 |
| 2.7.5 連続性の公理と諸定理の同値性 73 |
| 第3章 数列の極限と四則演算 77 |
| 3.1 数列の極限再説 78 |
| 3.2 数列の四則と極限 83 |
| 3.3 正の項の数列の極限値について 87 |
| 第4章 関数の連続性について 89 |
| 4.1 関数の連続性 90 |
| 4.1.1 連続性の近傍による表現とε－δによる表現 90 |
| 4.1.2 身近な関数の連続性を確かめる 93 |
| 4.1.3 やや技巧的な連続性の証明の紹介 94 |
| 4.2 関数の連続性と数列 95 |
| 4.2.1 連続性の表現の言い換え 95 |
| 4.2.2 f(a+b)=f(a)+f(b)をみたす関数 97 |
| 4.2.3 連続な関数と四則演算 101 |
| 4.3 中間値の定理 103 |
| 4.3.1 中間値の定理を証明する 103 |
| 4.3.2 存在定理とはどういうものか？ 106 |
| 4.4 最大値･最小値の定理 107 |
| 4.4.1 連続関数と有界性 107 |
| 4.4.2 ワイエルシュトラスの定理を証明する 109 |
| 4.4.3 中間値の定理の実用的なバージョン 111 |
| 第5章 関数の一様連続性と積分の存在 113 |
| 5.1 ハイネ＝ボレルの被覆定理 114 |
| 5.1.1 開被覆とはどういうものか？ 114 |
| 5.1.2 開被覆による、開区間と閉区間の違い 115 |
| 5.1.3 ハイネ＝ボレルの被覆定理とその証明 117 |
| 5.2 コンパクトという性質 119 |
| 5.2.1 コンパクトとはなにか？ 119 |
| 5.2.2 コンパクト集合と連続写像 120 |
| 5.3 ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理 121 |
| 5.3.1 数列の部分列の収束性 121 |
| 5.3.2 ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理を証明する 122 |
| 5.3.3 ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理の証明を吟味する 124 |
| 5.4 閉区間と関数の一様連続性 126 |
| 5.4.1 区間の上での連続性を考える 126 |
| 5.4.2 閉区間で連続な関数の一様連続性 128 |
| 5.5 定積分の存在と原始関数 131 |
| 5.5.1 「微分積分学の基本定理」の問題点？ 131 |
| 5.5.2 区分求積による積分の定義 132 |
| 5.5.3 閉区間上の連続関数の積分の存在 134 |
| 5.5.4 積分の2つの性質(線形性と加法性) 137 |
| 5.5.5 連続関数の積分平均値の定理 139 |
| 5.5.6 連続関数の原始関数の存在定理 140 |
| 第6章 位相空間と連続写像 143 |
| 6.1 数直線から位相空間へ 144 |
| 6.2 位相空間としての数直線 144 |
| 6.2.1 一般的な開集合と閉集合の定義 145 |
| 6.2.2 一般的な開集合と閉集合の性質 146 |
| 6.2.3 位相とはなにか？ 150 |
| 6.2.4 閉集合と数列の極限値 151 |
| 6.2.5 開核･閉包による開集合･閉集合の定義 153 |
| 6.3 連続写像とε－δ論法 155 |
| 6.3.1 連続写像と開集合の逆像との関係 155 |
| 6.3.2 ε－δ論法を使わずに、写像の連続性を定義する 157 |
| 6.3.3 連続写像による開集合･閉集合の像 159 |
| 6.4 最大値･最小値の定理とコンパクト性 160 |
| 6.4.1 一般化した位相空間でのコンパクト性 160 |
| 6.4.2 有界閉集合とコンパクト性 162 |
| 6.4.3 位相という観点から、ワイエルシュトラスの定理をみる 165 |
| 進んで学ぶ人のために － ブックガイド 169 |
| 索引 173 |
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