| 1. 微分方程式入門 1 |
| 1.1 ニュートン力学と微分方程式 1 |
| 1.1.1 運動方程式の求積と解の一意性 2 |
| 1.1.2 ケプラー問題から3体問題へ 4 |
| 1.2 ベクトル場と相空間 10 |
| 1.3 局所解の存在定理 14 |
| 1.3.1 準備 14 |
| 1.3.2 初期値問題の解の存在と一意性 17 |
| 1.4 大域解 22 |
| 1.4.1 極大延長解 22 |
| 1.4.2 大域解の存在定理 27 |
| 1.5 第1積分 29 |
| 1.5.1 第1積分と曲面上のベクトル場 29 |
| 1.5.2 エネルギー保存則と解の挙動 31 |
| 1.6 線形微分方程式 35 |
| 1.6.1 重ね合わせの原理 35 |
| 1.6.2 定数変化法 39 |
| 1.7 定数係数線形微分方程式 41 |
| 1.7.1 行列の指数関数 41 |
| 1.7.2 解の求積と実ジョルダン標準形 44 |
| 1.7.3 格子振動 49 |
| 練習問題 51 |
| 2. 微分方程式の定義する流れ 55 |
| 2.1 解の初期値に関する従属性定理と力学系 55 |
| 2.1.1 解の初期値とパラメータに関する連続性 55 |
| 2.1.2 解の初期値とパラメータに関する微分方程式 60 |
| 2.1.3 流れの保測性と散逸性 64 |
| 2.2 応用 66 |
| 2.2.1 ベクトル場の第1積分と直線化 66 |
| 2.2.2 1階偏微分方程式の解の存在定理 69 |
| 2.3 解の安定性と漸近挙動 73 |
| 2.3.1 平衡解の安定性 73 |
| 2.3.2 安定(不安定)多様体 79 |
| 2.4 ポアンカレ写像と離散力学系 81 |
| 2.4.1 時間に周期的に依存するベクトル場と離散力学系 81 |
| 2.4.2 ポアンカレ写像 87 |
| 2.5 ポアンカレの再帰定理 91 |
| 練習問題 93 |
| 3. ユークリッド空間上の古典力学 95 |
| 3.1 はじめに 95 |
| 3.2 変分法 97 |
| 3.2.1 変分問題 97 |
| 3.2.2 変分問題のオイラーラグランジュ方程式 99 |
| 3.3 ニュートン力学のラグランジュ形式と変分原理 106 |
| 3.4 ハミルトン系 109 |
| 3.4.1 ラグランジュ系からハミルトン系へ 109 |
| 3.4.2 ハミルトン系に対する変分原理 113 |
| 3.4.3 ハミルトン-ヤコビ方程式 115 |
| 3.5 正準変換 119 |
| 3.5.1 座標変換としての正準変換 119 |
| 3.5.2 微分形式 121 |
| 3.5.3 正準形式 128 |
| 3.6 ハミルトン系の流れと積分不変式 130 |
| 3.7 微小振動 135 |
| 3.7.1 線形ハミルトン系 135 |
| 3.7.2 調和振動子の流れ 138 |
| 3.8 系の対称性と第1積分 141 |
| 3.8.1 ネーターの定理 141 |
| 3.8.2 ハミルトン系に対する対称性とポアソン括弧式 144 |
| 3.9 正準変換の母関数表示 146 |
| 3.10 ハミルトン系の求積 150 |
| 練習問題 155 |
| 4. 多様体上の古典力学 158 |
| 4.1 多様体 158 |
| 4.1.1 束縛運動と多様体 158 |
| 4.1.2 接空間と多様体のベクトル場 162 |
| 4.2 接バンドル上のラグランジュ系 167 |
| 4.2.1 束縛運動のラグランジュ方程式 167 |
| 4.2.2 例 167 |
| 4.2.3 ラグランジュ系と変分原理 176 |
| 4.3 余接バンドル上のハミルトン系 178 |
| 4.3.1 ラグランジュ系からハミルトン系へ 178 |
| 4.3.2 正則なエネルギー曲面上のハミルトンの流れ 182 |
| 4.4 シンプレクティック多様体上のハミルトン系 188 |
| 4.4.1 シンプレクティック多様体 188 |
| 4.4.2 ハミルトンベクトル場とその長れ 191 |
| 4.5 ダルブーの定理の証明 193 |
| 練習問題 196 |
| 5. 可積分系とその摂動 199 |
| 5.1 可換なベクトル場とその流れ 199 |
| 5.2 ポアソン括弧式 203 |
| 5.2.1 ハミルトンベクトル場の可換性とポアソン括弧式 203 |
| 5.2.2 ハミルトンベクトル場の標準形 205 |
| 5.3 完全積分可能系 207 |
| 5.3.1 定義と例 207 |
| 5.3.2 アーノルド-ヨストの定理 211 |
| 5.3.3 作用-角変数 213 |
| 5.4 アーノルド-ヨストの定理の証明 216 |
| 5.5 可積分系の摂動 223 |
| 5.5.1 制限3体問題 223 |
| 5.5.2 摂動論 226 |
| 5.6 バーコフ標準形 229 |
| 5.7 ツイスト写像と不動点定理 233 |
| 5.8 コルモゴロフ-アーノルド-モーザー理論 238 |
| 5.8.1 ハミルトン系の準周期解とKAM定理 238 |
| 5.8.2 KAM定理の応用 245 |
| 5.8.3 KAMトーラスの崩壊とカオス 247 |
| 練習問題 249 |
| 問題の解答 250 |
| 練習問題解答 253 |
| 参考文献 269 |
| 索引 275 |
図書
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