| まえがき v |
| 理論の概要と目標 vii |
| 第1章 偏微分方程式の多様さ 1 |
| 1.1 解の空間，領域，特性方向 1 |
| （a）無限次元 1 |
| （b）領域の形 2 |
| （c）関数空間 4 |
| （d）特性方向 10 |
| 1.2 Fourier級数とFourier変換 11 |
| （a）Fourier級数 12 |
| （b）Fourier変換 14 |
| （c）緩増加超関数のFourier変換 18 |
| （d）コンパクトな台を持つ超関数と合成積 19 |
| 1.3 初期値問題 21 |
| （a）特性初期値問題と零解 22 |
| （b）双曲型作用素 24 |
| （c）Cauchy-Kowaleskiの定理 26 |
| 1.4 解の正則性 32 |
| 1.5 境界値問題とGreen関数 38 |
| （a）大域的な片側での初期値問題 40 |
| （b）楕円型境界値問題 46 |
| （c）混合問題 50 |
| 1.6 7つの解法 51 |
| 要約 56 |
| 演習問題 57 |
| 第2章 2階楕円型・放物型偏微分方程式の基礎理論 59 |
| 2.1 弱解の存在と一意性 I （斉次境界条件） 60 |
| （a）楕円型方程式に対するDirichlet境界値問題 60 |
| （b）Neumann境界値問題，非対称作用素 67 |
| （c）放物型方程式に対する初期・境界値問題 69 |
| 2.2 L^2-先験的評価と弱解の正則性 77 |
| （a）楕円型方程式に対する内部L^2-先験的評価と内部正則性 78 |
| （b）楕円型方程式に対する内部正則性定理の証明 80 |
| （c）楕円型方程式の解の解析性 84 |
| （d）大域的L^2-先験的評価と大域的正則性 85 |
| （e）放物型方程式の弱解の正則性定理 89 |
| 2.3 弱解の存在と一意性II（非斉次境界条件） 92 |
| （a）軟化作用素 92 |
| （b）拡張定理 94 |
| （c）トレース定理 95 |
| （d）非斉次境界値問題，非斉時混合問題 98 |
| 2.4 弱最大値原理 101 |
| （a）楕円型方程式に対する弱最大値原理 101 |
| （b）放物型方程式に対する弱最大値原理 103 |
| 2.5 Schauder評価 105 |
| （a）楕円型方程式に対するSchauder評価と正則性定理 105 |
| （b）Hoelder空間での可解性 108 |
| （c）放物型方程式に対するSchauder評価，正則性，可解性 109 |
| 2.6 基本解，Green関数，Poisson核と解の表現 112 |
| （a）Cauchy問題の基本解と解の一意存在定理 112 |
| （b）混合問題の基本解と解の存在定理 115 |
| （c）楕円型境界値問題のGreen関数とPoisson核 117 |
| 2.7 楕円型作用素のスペクトルと半群 121 |
| （a）スペクトル，レゾルベント，自己共役作用素 122 |
| （b）楕円型方程式の弱解の存在と一意性Ⅲ 127 |
| （c）Fredholmの交代定理と固有関数展開 129 |
| （d）min-max原理 |
| （e）放物型方程式に対する初期・境界値問題Ⅲ 134 |
| 要約 140 |
| 演習問題 141 |
| 第3章 解の定量的評価と基本的性質 143 |
| 3.1 強最大値原理 143 |
| （a）楕円型・放物型方程式に対するHopfの強最大値原理 143 |
| （b）楕円型方程式対する弱最大値原理（V(x)≧0の場合） 148 |
| （c）Gidas-Ni-Nirenbergの理論 152 |
| 3.2 Sovolevの不等式，加藤の不等式，劣解評価 156 |
| （a）Sovolevの不等式 156 |
| （b）弱微分の合成則，積公式 160 |
| （c）加藤の不等式と弱L-劣解・優解 163 |
| （d）弱解のL^∞評価（Moserの劣解評価） 166 |
| 3.3 楕円型・放物型Harnackの不等式とその応用 171 |
| （a）楕円型Harnackの不等式とHoelder評価 172 |
| （b）Dirichlet問題とGreen関数の評価 176 |
| （c）Liouville形定理 180 |
| （d）非線形変分問題の解の正則性 181 |
| （e）放物型Harnackの不等式 185 |
| 要約 188 |
| 演習問題 189 |
| 第4章 Schroedinger半群 |
| 4.1 極小基本解とSchroedinger半群 191 |
| 4.2 初期値問題の解の一意性と非一意性 196 |
| （a）制限された増大度を持つ解の一意性 198 |
| （b）非負値解の一意性 203 |
| （c）非負値解の非一意性 207 |
| 4.3 定常Schrordinger方程式とHのスペクトル 208 |
| （a）HのスペクトルとVの無限遠での挙動 208 |
| （b）定常Schrordinger方程式の解の増大度と正値性 210 |
| 4.4 極小基本解の長時間漸近形 215 |
| （a）真性スペクトルの下端 215 |
| （b）IU（intrinsically ultracontractive） 217 |
| 要約 221 |
| 演習問題 221 |
| 現代数学への展望 223 |
| 参考文献 225 |
| 参考書 230 |
| 問解答 231 |
| 演習問題解答 242 |
| 索引 251 |
図書
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