第1章 最小値,最大値,導関数,そして,コンピュータ 1 |
1.1 はじめに 3 |
1.2 微分が役に立たないのはいつか? 6 |
1.3 代数を使って最小値を見つける 7 |
1.4 土木工事の問題 12 |
1.5 AM-GM不等式 15 |
1.6 物理学に由来する微分 22 |
1.7 コンピュータを使った最小化 26 |
第2章 最初の最大値・最小値問題 39 |
2.1 古代の人々の長さと面積についての誤解 41 |
2.2 ディドーの問題と等周比 49 |
2.3 ディドーの問題に対するシュタイナーの「解答」 59 |
2.4 どうやってシュタイナーはつまづいたのか? 62 |
2.5 答えが易しい「難しい」問題 65 |
2.6 ファニャーノの問題 68 |
第3章 中世の最大値問題とその現代的アレンジ 75 |
3.1 レギオモンタヌスの問題 77 |
3.2 土星の問題 82 |
3.3 折り紙の問題 85 |
3.4 パイプと曲がり角の問題 89 |
3.5 2次元のレギオモンタヌスの問題 93 |
3.6 泥だらけの車輪の問題 97 |
第4章 デカルトとフェルマーの忘れられた論争 103 |
4.1 全く正反対の2人の男 105 |
4.2 スネルの法則 107 |
4.3 フェルマー,接線,そして,極値 115 |
4.4 導関数の誕生 120 |
4.5 導関数と接線 125 |
4.6 スネルの法則と最小時間の原理 132 |
4.7 教科書でよく取り上げられる問題 139 |
4.8 スネルの法則と虹 142 |
索引145 |
第5章 微積分学は前進し舞台の中央へ 1 |
5.1 微分 : 論争と勝利: 3 |
5.2 絵画の問題の再考とケプラーのワイン樽の問題: 9 |
5.3 小包郵便のパラドックス: 11 |
5.4 重力場での発射体の運動: 14 |
5.5 完璧なバスケットボールのシュート: 19 |
5.6 ハレーの砲術の問題: 26 |
5.7 ド・ロピタルと彼の滑車の問題,そして,新しい最小の原理32 |
5.8 微分と虹: 39 |
第6章 微分積分を越えて 59 |
6.1 ガリレオの問題: 61 |
6.2 最速降下問題: 70 |
6.3 ガリレオとベルヌーイの比較: 81 |
6.4 オイラー-ラグランジュ方程式: 91 |
6.5 直線と最速降下曲線: 98 |
6.6 ガリレオの懸垂鎖: 100 |
6.7 カテナリー再考: 106 |
6.8 等周問題,(ついに)解決! 111 |
6.9 最小面積の曲面,プラトー問題,石鹸膜: 118 |
6.10 最小面積の曲面の人間側の側面: 130 |
第7章 現代の始まり 137 |
7.1 フェルマー-シュタイナー問題: 139 |
7.2 最適採掘問題,最短郵便配達経路問題,有向グラフ上の最小コスト経路問題: 146 |
7.3 巡回セールスマン問題: 152 |
7.4 不等式による最小化(線形計画法) 155 |
7.5 後ろ向きの作業による最小値の決定(動的計画法) 171 |
付録A AM-GM不等式 189 |
付録B AM-QM不等式とイェンセンの不等式 193 |
付録C 「ミツバチの智恵」 201 |
付録D どの凸図形も周の2等分線を持つ 205 |
付録E 円周に沿った重力による自由落下時間 207 |
付録F 閉曲線で囲まれた領域の面積 211 |
付録G ベルトラミの等式 219 |
付録H 漁師の問題について最後に一言 221 |
訳者あとがき 225 |
索引 229 |
第1章 最小値,最大値,導関数,そして,コンピュータ 1 |
1.1 はじめに 3 |
1.2 微分が役に立たないのはいつか? 6 |