0.線形代数とは何か 1 |
1.連立1次方程式の掃き出し法による解法 5 |
1 連立1次方程式の解 5 |
2 掃き出し法 7 |
2.行列の積・和・スカラー倍 15 |
1 行列の一般的な形 15 |
2 行列の積 16 |
3 転置行列 18 |
4 行列の和とスカラー倍 19 |
5 連立1次方程式の行列による表示 20 |
3.行列式 21 |
1 2次の行列式 21 |
2 3次の行列式 22 |
3 n次の行列式 24 |
4 行列式の性質 25 |
4.正則行列の逆行列 33 |
1 正則行列と逆行列 33 |
2 逆行列の求め方 34 |
3 連立1次方程式の解の公式 39 |
5.ベクトルの1次結合,1次独立,1次従属 43 |
1 ベクトルの和とスカラー倍 43 |
2 ベクトルの1次結合と張られる空間 44 |
3 1次独立系と1次従属系 47 |
6.部分ベクトル空間とその次元 53 |
1 部分ベクトル空間 53 |
2 部分ベクトル空間の次元 56 |
3 基底と成分 57 |
4 自明な解と正則行列 59 |
7.線形写像・その核と像 63 |
1 写像と線形写像 63 |
2 線形写像の核と像 66 |
8.行列のランク 69 |
1 行列のランク 69 |
2 小行列式 73 |
9.連立1次方程式の解 75 |
1 4つの同値な方程式 75 |
2 解の存在 77 |
3 解の一意性 78 |
10.ベクトルの内積と直交行列 81 |
1 ベクトルの内積とノルム 81 |
2 直交系 85 |
3 直交行列 87 |
11.正方行列の固有値と固有ベクトル 91 |
1 固有値と固有ベクトル 91 |
2 正方行列の累乗 93 |
12.実対称行列と実2次式 97 |
1 実対称行列 97 |
2 実対称行列の対角化 98 |
3 2次式の標準形 102 |
付録 105 |
付録1. 未知数の個数よりも等式の個数が少ない斉次形連立1次方程式は自明な解のほかに解をもつことの証明 105 |
付録2. 平行六面体の体積 106 |
付録3. n次の行列式の定義と性質 108 |
付録4. 次元定理の証明 114 |
付録5. 6つの操作を行なうことにより,行列のランクを求めることができることの証明 115 |
付録6. 行列のランクが小行列式の値で決まることの証明 118 |
付録7. 相異なる固有値に対応する固有ベクトルは1次独立系となることの証明 120 |
付録8. 実対称行列の固有値は実数であることの証明 121 |
付録9. 実対称行列は直交行列によって対角化できることの証明 123 |
付録10. 無限次元のベクトル空間 125 |
問題解答 129 |
索引 133 |