| 1章 バナッハ空間 |
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| 1.1 線形空間と線形写像 1 |
| A] 線形空間 E 1 |
| B] 1 次独立と 1 次従属,空間 R,Rn,C,C(I),C∞(I),Pn 3 |
| C] 線形斉次常微分方程式 L[u]=0 の解空間 S 7 |
| D] 線形写像 A の値域 R(A) と零空間 N(A) 11 |
| E] L[u]=0 の初期値問題の積分方程式への書き換え 15 |
| F] 積分作用素 A と積分方程式 u=u₀+Au 17 |
| 1.2 ノルム線形空間と有界線形作用素 19 |
| A] 実数の絶対値 |・| とノルム空間 E のノルム ∥･∥ 19 |
| B] 空間 C(I ) の最大値ノルム,バナッハ空間 i.e. 完備なノルム空間 20 |
| C] 内積とシュワルツの不等式 22 |
| D] 有界線形作用素 A : X → Y のノルム ∥A∥ 24 |
| E] 有界線形作用素 X → Y のなす空間 B(X,Y) 26 |
| F] 線形積分方程式 u=u₀+Auの解の一意存在 27 |
| G] 一般定理への組み立てとその応用 30 |
| H] 2 階線形常微分方程式 L[u]=f の初期値問題の解の一意存在 32 |
| 1.3 距離空間 34 |
| A] 距離空間,開球と閉球,ε－近傍 34 |
| B] 縮小写像とバナッハの不動点定理 36 |
| C] 系列空間(s),l∞,l₁,l₂, ルべーク空間 L₁(I),L₂(I) 38 |
| 1.4 有限次元ノルム空間 47 |
| A] 同値ノルム,有界集合と緊迫集合 47 |
| B] 連立 1 次方程式の反復的解法 49 |
| 2章 ヒルベルト空間 |
| 2.1 ヒルベルト空間 52 |
| A] 数体 R または C の上の抽象的ヒルベルト空間 H 52 |
| B] 空間 l₂,L₂(I) 54 |
| 2.2 線形偏微分方程式の初期境界値問題 54 |
| A] 熱方程式 ∂u/∂t=∂2u/∂x2 の初期境界値問題の解 54 |
| B] フーリエの変数分離による解法,固有値,固有関数 55 |
| C] f∈L₂(0,π) のフーリエ正弦級数 59 |
| D] 音波方程式の初期境界値問題の解,調和音の基本周期 63 |
| 2.3 フーリエ級数 64 |
| A] f∈L₂(-π,π) のフーリエ級数 64 |
| B] ヒルベルト空間 H の正規直角系 {φk} 67 |
| C] f∈H の ｛φk｝ に関するフーリエ級数 69 |
| D] H の完全正規直角系と H の可分性,リース-フィッシャーの定理 72 |
| 2.4 f∈L2(I) のフーリエ級数 76 |
| A] L∞(I) での恒等への近似 {ρε}ε>0とデルタ系列 {ρε}ε→0 76 |
| B] f∈L₁l0e(I)とテスト関数φ∈C₀∞(I),コーシーのテスト関数 79 |
| C] 軟化子*ψLp(I)での恒等への近似｛ψε}ε>0とデルタ系列{ψε}ε→0 82 |
| D] L₂(0,1)に完全正規直角系｛e2πlkx｝k=0,±1,±2,…, ディリクレ核Dn(x) 84 |
| E] リーマン-ルベーグの定理,関数のフーリエ級数の収束性,フェエール核Fn(x) 87 |
| 2.5 複素ヒルベルト空間Hの幾何学 89 |
| A] f₀∈HからHの閉部分空間Mへの距離d(f₀,M) 89 |
| B] Hの直角分解M+M⊥,Mの直角補空間M⊥,HからMの上への正射形PM:H→M 92 |
| C] 複素バナッハ空間がヒルベルト空間なための必要十分条件 94 |
| 3章 共役空間と弱収束 |
| 3.1 ヒルベルト空間Hの共役空間H' 95 |
| A] Hの共役空間H',f∈H'とx∈Hの共役体積〈f,x〉 95 |
| B] リースの表現定理 97 |
| C] 同形写像π:H'→H,内積(f₁,f₂)H' 98 |
| 3.2 弱収束 99 |
| A] 系列{x₁}⊂Hのx₀∈Hへの弱収束 99 |
| B] Hの弱位相,Hの有界系列の相対弱緊迫性 100 |
| C] ベールの範疇定理,Hに関する一様有界性定理 103 |
| D] Hの弱完備性に関するバナッハ-シュタインハウスの定理 105 |
| 3.3 ノルム線形空間の共役空間 106 |
| A] 実線形空間についてのハーン-バナッハの拡張定理 106 |
| B] 実ノルム線形空間についてのハーン-バナッハの定理 110 |
| C] 複素ハーン-バナッハの定理 112 |
| D] 複素ノルム線形空間Xの共役空間X' 113 |
| E] 系列{f₁}⊂X'のfへの弱*収束 114 |
| F] X'の弱*完備性に関するバナッハ-シュタインハウスの定理,一様有界性定理:バナッハ空間Xからノルム空間Yへの有界線形写像の集合B'は弱位相で有界であれば強位相で有界である 115 |
| 3.4 反射的バナッハ空間 117 |
| A] 標準写像J:X→X'' 117 |
| B] 反射的バナッハ空間 118 |
| C] 系列{x₁}⊂Xのxへの弱収束,反射的バナッハ空間Xの弱完備性に関するバナッハ－シュタインハウスの定理 119 |
| D] 反射的バナッハ空間の有界系列の相対弱緊迫性に関するバナッハ－アラオグユの定理 120 |
| 3.5 反射的バナッハ空間の例 122 |
| A] 系列空間lp(1＜p＜∞),ヘルダーの不等式 122 |
| B] ルベーグ空間Lp(I)(1＜p＜∞) 126 |
| C] 標準単射または埋蔵写像j:Y→X,記号Y⊂X 128 |
| 3.6 複素バナッハ空間における単調作用素と共役写像 129 |
| A] 周期関数f∈Lp(-π,π)(1＜p＜∞)のフーリエ係数に関してのボイルリンク-リビングストンの定理 129 |
| B] 複素バナッハ空間Xから共役空間X'への単調写像,正則なバナッハ空間,XからX'への共役写像,厳密に凸なバナッハ空間 132 |
| C] 定理「Xが正則な反射的バナッハ空間である上に厳密に凸であると、XからX'への共役写像Tは厳密に単調な双射である」 135 |
| D] 写像F:X→X'のデミ連続,ヘミ連続 137 |
| 3.7 ブラウダーの定理 138 |
| A] 諸補題,F:X→X'の高圧条件 138 |
| B] ブラウダーの定理,有向集合とムーア－スミス列 140 |
| C] 緊迫位相空間の有限交叉性 143 |
| 3.8 ボイルリンク-リビングストンの定理 144 |
| A] ボイルリンク-リビングストンの一般定理 144 |
| B] フーリエ係数に関する上記定理を導く 146 |
| 4章 シュワルツの分布 |
| 4.1 分布の導入 147 |
| A] テスト関数φの空間D(I)と分布uの空間D'(I),体積＜u,φ＞ 147 |
| B] δ-分布,デルタ関数δ(x),正則分布と特異分布,広義関数 151 |
| C] ラドン測度の分布的意味づけ 153 |
| 4.2 導分布 156 |
| A] u∈D'(I)の導分布du/dx∈D'(I),＜du/dx,φ＞=-＜u, φ'＞ 156 |
| B] 正則な分布の導分布が正則になる場合 158 |
| C] 1位のソボレフ空間H^1(I) 160 |
| D] 発散積分の有限部分 162 |
| E] 発散積分のコーシー主値 163 |
| 4.3 分布列の収束 164 |
| A] 分布列の弱収束(単純収束),関数のδ-系列 164 |
| B] 分布列の収束に関するバナッハ-シュタインハウスの定理,関数fの導分布の弱い意味の微分としての意味づけ 166 |
| C] フレシェ空間E 169 |
| D] フレシェ空間DKの共役空間DK'の a)弱位相(単純位相) b)緊迫位相 c)強位相 170 |
| E] バナッハ-シュタインハウスの定理の証明 171 |
| 4.4 R^nの開集合Ω上の分布 172 |
| A] D(Ω)とD'(Ω) 172 |
| B] コーシーのテスト関数 173 |
| C] n次元のデルタ関数,分布の台 174 |
| 4.5 分布に行う諸演算 175 |
| A] 写像T:D→Dの分布への拡大 175 |
| B] いろいろな写像T 175 |
| C] 分布の合成積 177 |
| 4.6 線形偏微分方程式の広義解 179 |
| A] 波動方程式とその解 179 |
| B] 線形偏微分方程式L[u]=fに対するシュワルツの広義解 182 |
| C] 衝撃波 183 |
| D] ミクシンスキーの弱関数 185 |
| E] 広義関数 186 |
| F] 弱い微分法 187 |
| G] 合成広義関数の弱い微分法 188 |
| 5章 フーリエ変換 |
| 5.1 R^1関数のフーリエ変換 190 |
| A] フーリエ変換と逆フーリエ変換の導入 190 |
| B] D(I)上の2つの変換の逆関係 192 |
| C] L₂(I)上のフーリエ変換に関するブランシュレルの定理 194 |
| 5.2 R^n(n≧1)関数のフーリエ変換 195 |
| A] 定義と記法 195 |
| B] 急減少テスト関数の族S 197 |
| C] 緩増加分布の空間S' 199 |
| D] S'へのフーリエ変換の拡張 201 |
| 5.3 熱方程式の初期値問題 205 |
| A] f∈Sに対する解u=f*Kt,ガウス核Kt(x) 205 |
| B] 解の吟味 207 |
| 5.4 非斉次熱方程式 210 |
| A] 類比な常微分方程式の基本解 210 |
| B] 非斉次熱方程式の基本解 211 |
| C] 基本解の効用 213 |
| 5.5 R^n上のソボレフ-ヒルベルト空間H^s(s∈R) 215 |
| A] フーリエ変換の利用 215 |
| B] 完備化によるH^sの定義 216 |
| C] H^sの性質 216 |
| D] u∈S'がH^s(s>0)の関数であるための条件 217 |
| E] H^sに対するソボレフの補題 218 |
| F] H₀^s(Ω)に対するレリッヒの補題 220 |
| 6章 ソボレフ空間H1(Ω),H₀1(Ω) |
| 6.1 発散定理 222 |
| A] 発散定理とそれに用いられる諸概念 222 |
| B] グリーンの第1,第2公式 224 |
| 6.2 ラプラス型方程式の境界値問題 225 |
| A] ラプラス作用素Δと調和関数 225 |
| B] ディリクレ問題とノイマン問題 225 |
| C] ディリクレの原理 228 |
| 6.3 ソボレフ-ヒルベルト空間H1(Ω),H₀1(Ω) 231 |
| A] ディリクレ積分とH1(Ω)-ノルム,トレース作用素 231 |
| B] H₀1(Ω)とセミノルム|･|H1(Ω) 234 |
| C] 超曲面, 閉曲面, Ω⊂Rnの開被覆{Vj}に従属するΩ上の単位の分解 236 |
| D] 線分性を持つ有解領域に対しHk(Ω)=Wk(Ω) 240 |
| 6.4 ソボレフの補題とレリッヒの補題 241 |
| A] 関数の拡張Eと制限R 241 |
| B] 有界拡張写像Ek 242 |
| C] ソボレフの補題とレリッヒ補題 243 |
| 6.5 抽象的ヒルベルト空間Hにおける変分不等式 244 |
| A] 実ヒルベルト空間Hの1点xからHの閉凸部分集合Kへの射影yの特長づけ 244 |
| B] H上の実の双1次形式a(u,v)とHからH'への有界線形写像A 247 |
| C] 実バナッハ空間Xの上の実汎関数J(v)=1/2a(v,v)-の閉凸部分集合K⊂X上の極小問題の解uの変分的特長づけ 248 |
| D] a(u,v)が対称でない場合の変分不等式問題の一意可解性 251 |
| 6.6 ラプラス式偏微分方程式の境界値問題 253 |
| A] ラプラス式方程式のディリクレ問題の広義解 253 |
| B] 擾乱膜の釣合における形を求める問題 256 |
| C] ラプラス式方程式のノイマン問題の広義解 258 |
| D] 混合問題の広義解 261 |
| 索引 265 |
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