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1.

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1. 不完全性定理の先へ
レイモンド・M・スマリヤン著 ; 川辺治之訳
出版情報: 東京 : 日本評論社, 2018.9  v, 312p ; 22cm
シリーズ名: スマリヤン数理論理学講義 / レイモンド・M・スマリヤン著 ; 川辺治之訳 ; 下巻
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第1部 命題論理と一階述語論理の進んだ話題 : 命題論理の進んだ話題
一階述語論理の進んだ話題
第2部 再帰的関数論とメタ数学 : 再帰的関数論、決定不能性、不完全性
初等形式体系と再帰的枚挙可能性
再帰的関数論
二重化による一般化
メタ数学とのつながり
第3部 コンビネータ論理の構成要素 : コンビネータ論理事始め
さまざまなコンビネータ
賢者、預言者、それらの二重化
完全体系と部分体系
コンビネータ、再帰的関数論、決定不能性
第1部 命題論理と一階述語論理の進んだ話題 : 命題論理の進んだ話題
一階述語論理の進んだ話題
第2部 再帰的関数論とメタ数学 : 再帰的関数論、決定不能性、不完全性
概要: スマリヤンが追求した不完全性定理後の数理論理学。数学者レイモンド・M・スマリヤン(1919‐2017)。明快さと機知に富む多くの著作で知られる。その最後の著作となった、数理論理学(数学基礎論)の入門書。得意のジョークも交えた独特の筆致で読者 … を数理論理学の深い理解へと誘います。 続きを見る
2.

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2. 数学の基礎をめぐる論争 : 21世紀の数学と数学基礎論のあるべき姿を考える : The mathematical intelligencer誌より
田中一之編・監訳
出版情報: 東京 : シュプリンガー・フェアラーク東京, 1999.2  v, 213p ; 21cm
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3.

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3. 基礎課程線形代数学
吉野崇, 田中一之共著
出版情報: 東京 : 培風館, 1998.3  iv, 128p ; 21cm
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4.

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東工大
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4. 数学基礎論講義 : 不完全性定理とその発展
田中一之 [ほか] 著
出版情報: 東京 : 日本評論社, 1997.3  ix, 206p ; 22cm
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はじめに i
Part A.数理論理学入門 1
第1講 準備練習 3
   1.1 論理について 3
   1.2 集合について 6
   1.3 再帰的定義と帰納法による証明 10
第2講 命題論理 13
   2.1 トートロジー 13
   2.2 命題論理の公理系 15
   2.3 命題論理の完全性定理 20
第3講 述語論理 24
   3.1 構造と言語 24
   3.2 ゲーデルの完全性定理 29
   3.3 完全性定理の応用1 35
   3.4 完全性定理の応用2 36
第4講 再帰的関数 41
   4.1 原始再帰的関数 41
   4.2 原始再帰的集合 44
   4.3 再帰的関数 46
   4.4 再帰的関係とRE集合 51
   4.5 β関数によるコード化 57
   4.6 原始再帰法の消去 61
   パートA参考文献 64
Part B.不完全性定理 65
第5講 算術の体系 67
   5.1 ロビンソンの算術Q 67
   5.2 ベアノ算術 69
   5.3 Qの基本的な能力 71
   5.4 Σ1完全性定理 73
   5.5 表現可能性 76
第6講 第一不完全性定理 81
   6.1 第一不完全性定理の主張(1) 81
   6.2 ゲーデル数 82
   6.3 第一不完全性定理の主張(2) 84
   6.4 可証性述語 86
   6.5 対角化定理 88
   6.6 ゲーデルの第一不完全性定理 90
第7講 第一不完全性定理の拡張 93
   7.1 ロッサーの不完全性定理 93
   7.2 クレイグの手法 95
   7.3 決定不能性に関するいくつかの結果 96
第8講 第二不完全性定理 99
   8.1 第二不完全性定理の意義 99
   8.2 可導性条件と第二不完全性定理 100
   8.3 可証性述語のいくつかの性質 103
   8.4 可証性述語と様相論理 105
第9講 可証性述語の詳細 108
   9.1 β関数定理の形式化 108
   9.2 可証性述語の定義 109
   9.3 可導性条件D2の証明 113
   9.4 Σ1完全性定理の形式化 114
   9.5 クレイグの手法の形式化 119
   パートB参考文献 121
Part C.組合せ的独立命題 123
第10講 順序数と急増加関数 125
   10.1 ε0までの順序数と基本列 125
   10.2 ヒドラ-ヘラクレス戦 129
   10.3 グッドシュタイン列 131
   10.4 急増加関数 133
第11講 パーソンズの定理(IΣ1と原始再帰的関数) 137
   11.1 パーソンズの定理の応用 137
   11.2 I*Σ1 138
   11.3 カット消去定理 140
   11.4 パーソンズの定理の証明 142
第12講 クライゼルの定理(PAと急増加関数) 146
   12.1 クライゼルの定理の応用 146
   12.2 PA∝ 147
   12.3 カット消去定理 151
   12.4 クライゼルの定理の証明 152
第13講 パリス-ハーリントンの独立命題 155
   13.1 パリス-ハーリントンの命題PH 155
   13.2 PHが真であること 157
   13.3 PH(2)がIΣ1で証明できないこと 158
   13.4 PHがPAで証明できないこと 160
   パートC参考文献 166
Part D.算術の超準モデル 167
第14講 算術の超準モデル 168
   14.1 算術の超準モデル 168
   14.2 ペアノ算術 170
   14.3 超準モデルの順序構造 172
   14.4 始切片,終拡大 174
第15講 テンネンバウムの定理 177
   15.1 テンネンバウムの定理 177
   15.2 再帰的な超準モデルについて 181
第16講 モデルを用いた不完全性定理の証明 183
   16.1 不完全性定理と超準モデル 183
   16.2 完全性定理の算術化 184
   16.3 モデルを用いた不完全性定理の証明 187
第17講 超準モデルと計算量理論 190
   17.1 パリクの定理 190
   17.2 P,NP,co-NP 192
   17.3 ウィルキーの定理 194
   パートD参考文献 196
補講 不完全性定理を超えて 198
   ヒルベルトのプログラム 198
   逆数学プログラム 199
   おわりに 201
   索引 203
はじめに i
Part A.数理論理学入門 1
第1講 準備練習 3
5.

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5. ロジックの世界 : 論理学の哲人たちがあなたの思考を変える
ダン・クライアン, シャロン・シュアティル文 ; ビル・メイブリン絵 ; 田中一之訳
出版情報: 東京 : 講談社, 2015.3  190p ; 18cm
シリーズ名: ブルーバックス ; B-1906
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ロジックとは?
文を研究する
対立の四角形
三段論法
接続詞のロジック
ライプニッツの法則
背理法
新オルガノン
フレーゲの量化詞
文脈の原則〔ほか〕
ロジックとは?
文を研究する
対立の四角形
概要: 論理学というと、抽象的で難しいものというイメージをもっていませんか?本書で紹介する現代論理学、「ロジック」は幅広く使われているものです。時に、哲学や言語学、数学や電子工学などの様々な学問の基礎となり、時に日常のちょっとした会話や思考に役立つ … 知的ツールとなります。本書では、そんな多彩なロジックの世界を偉大な哲人とともにめぐります。 続きを見る
6.

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6. ゲーデルに挑む : 証明不可能なことの証明
田中一之著
出版情報: 東京 : 東京大学出版会, 2012.4  viii, 177p ; 21cm
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7.

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7. 完全性定理とモデル理論
田中一之編
出版情報: 東京 : 東京大学出版会, 2006.10  xii, 286p ; 22cm
シリーズ名: ゲーデルと20世紀の論理学 (ロジック) / 田中一之編 ; 2
所蔵情報: loading…
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刊行にあたって ⅲ
はじめに ν
序 ゲーデルの完全性定理とその背景 田中一之 1
   0.1 背景 5
   0.2 ゲーデルの証明 14
   0.3 完全性定理の周辺 18
   付録 集合の基本知識 23
   参考文献 26
第I部 述語論理入門 田中一之 29
第1章 ケーニヒの補題 34
   1.1 再帰的定義と帰納法 34
   1.2 木について 36
第2章 命題論理 41
   2.1 真理値とトートロジー 41
   2.2 タブロー法 44
   2.3 コンパクト性 53
   2.4 演繹体系と完全性定理 54
第3章 述語論理 61
   3.1 論理式と構造 61
   3.2 述語論理のタブロー法 66
   3.3 述語論理の基本定理 73
   3.4 演繹体系と完全性定理 79
第4章 述語論理の諸性質と一般化 83
   4.1 ゲンツェンのLK 83
   4.2 述語理論の諸性質 88
   4.3 等号をもつ論理体系 94
   4.4 関数記号の導入 97
   付録 スコーレムの標準形とエルブランの定理 101
   参考文献 109
第II部 モデル理論とコンパクト性 坪井明人 111
第1章 基本事項 116
   1.1 予備知識 116
   　1.1.1 濃度、基数、順序数 116
   　1.1.2 言語、論理式、構造 120
   　1.1.3 完全性、コンパクト性 121
   1.2 構造の同型 122
   　1.2.1 同型 122
   　1.2.2 基本写像 125
   1.3 定義可能集合 127
第2章 コンパクト性 130
   2.1 ウルトラフィルター 130
   2.2 ウルトラプロダクト 134
   2.3 コンパクト性定理 138
   2.4 レーヴェンハイム・スコーレム・タルスキの定理 140
   2.5 基本鎖定理と飽和モデル 142
   2.6 スコーレム関数 148
   2.7 ラムジーの定理と一様列 150
第3章 量化記号の消去 156
   3.1 消去の判定 157
   3.2 実閉体 159
   3.3 代数的閉体 162
第4章 eq構造 164
   4.1 多領域言語と構造 164
   4.2 仮想元をもつ構造-eq構造 166
   4.3 eq構造と定義可能性 170
第5章 範疇性 172
   5.1 N0範疇性 172
   　5.1.1 定理5.1のいくつかの例 173
   　5.1.2 タイプの排除定理 174
   　5.1.3 可算範疇性の特徴づけ 176
   5.2 N1範疇性 178
   　5.2.1 N0の安定性 178
   　5.2.2 強極小集合と次元 181
   　5.2.3 ヴォート対 183
   　5.2.4 N1範疇性の特徴づけ 186
   参考文献 189
第III部 論理的意味論の源流、モデル論の誕生、そしてその展開-論理と言語の間で 野本和幸 191
第1章 現代論理学の二つの源流 195
   1.1 論理代数的アプローチ 195
   　1.1.1 プールの論理代数 195
   　1.1.2 パースとシュレーダー 196
   1.2 フレーゲの論理的意味論 197
   　1.2.1 フレーゲの論理革命と論理・算術の公理体系化 198
   　1.2.2. 論理的意味論の原型 200
   　1.2.3 フレーゲの意義論 205
   　1.2.4 体系構築への予備学的解明(Erlauterung) 206
   1.3 ラッセルとウィトゲンシュタイン 207
   　1.3.1 ラッセルの論理的意味論 207
   　1.3.2 ウィトゲンシュタインの像理論 208
第2章 モデル論の誕生 210
   2.1 レーヴェンハイム 210
   2.2 スコーレムのパラドクス 211
   2.3 ゲーデルの完全性定理 215
   2.4 タルスキのモデル論 217
   　2.4.1 タルスキの真理定義 217
   　2.4.2 タルスキ真理理論の衝撃 220
第3章 内包的意味論の展開 222
   3.1 カルナップの意味論 222
   3.2 内包論理の意味論-様相論理 224
   　3.2.1 カルナップの内包論理 224
   　3.2.2 チャーチの内包論理 226
   3.3 モンタギュー文法 227
   　3.3.1 古典論理の言語L0の統語論 228
   　3.3.2 L0の意味論 228
   　3.3.3 英語断片L1 229
   　3.3.4 内包論理IL 232
   　3.3.5 プラグマティクス 235
   3.4 デイヴィドソンの意味理論瞥見 236
   3.5 様相とモデル 237
   　3.5.1 カプラン・モデル 237
   　3.5.2 様相論理のクリプキ・モデル 238
第4章 指示と信念 242
   4.1 知信の論理 242
   4.2 直接指示・単称名辞の意味論 245
   　4.2.1 付箋と記述 245
   　4.2.2 固定指示 246
   　4.2.3 直接指示 247
   4.3 信念帰属の統語論的・意味論的考察 250
   　4.3.1 ノーマルな信念帰属 250
   　4.3.2 信念帰属の統語論的-意味論的分析 251
   　4.3.3 信念帰属のパズル 252
   　4.3.4 透明性(transparency)の問題-合成性とシェイクスピア性 259
   4.4 ダイナミック・ターン 265
   参考文献 266
   用語索引 273
   人名索引 283
刊行にあたって ⅲ
はじめに ν
序 ゲーデルの完全性定理とその背景 田中一之 1
8.

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8. 集合論とプラトニズム
田中一之編
出版情報: 東京 : 東京大学出版会, 2007.7  xii, 305p ; 22cm
シリーズ名: ゲーデルと20世紀の論理学 (ロジック) / 田中一之編 ; 4
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刊行にあたって iii
はじめに v
序 ゲーデルの集合論とその背景 田中一之 1
   0.1 集合論の背景 7
   0.2 ゲーデルの証明 17
   0.3 その後 23
参考文献 28
第I部 構成的集合と公理的集合論入門 渕野 昌 29
第1章 公理的集合論 34
   1.1 ツェルメロ・フレンケル集合論 34
   1.2 集合論の1階の論理での公理化 45
   1.3 クラスとベルナイス・ゲーデル集合論 50
第2章 公理的集合論の展開 56
   2.1 整列順序 57
   2.2 数学的帰納法による証明と関数の再帰的定義 63
   2.3 順序数 71
   2.4 基数 81
   2.5 基数算術 89
   2.6 共終数 93
   2.7 連続体仮説 94
第3章 集合論のモデル 105
   3.1 論理式の相対化と絶対性 105
   3.2 比較的簡単な相対的無矛盾性の証明 117
   3.3 集合論の内部での論理とモデル理論 121
第4章 構成的集合と強制法 127
   4.1 構成的集合 127
   4.2 強制法 136
参考文献 146
第II部 集合論の発展―ゲーデルのプログラムの視点から 松原 洋 149
第1章 「カントルの連続体問題とは何か」 152
第2章 実数の集合の性質 161
   2.1 射影集合の正則性 161
   2.2 ソロヴェイの定理 166
第3章 巨大基数 172
   3.1 可測基数 172
   3.2 初等的埋め込みと巨大基数 180
   3.3 決定性公理 190
   3.4 イデアル 194
   3.5 内部モデル 201
第4章 ゲーデルのプログラムの実践 207
   4.1 射影決定性とウッディン基数 207
   4.2 基数の算術と巨大基数 211
第5章 最前線へ 218
参考文献 222
第III部 ゲーデルのプラトニズムと数学的直観 戸田山和久 227
第1章 ゲーデルはいつからプラトニストなのか 232
   1.1 間接的証拠のいくつか 232
   1.2 「数学の基礎における現状について」 (1933) 234
第2章 経験科学と数学のアナロジー 238
   2.1 「ラッセルの数理論理学」 (1944) 238
   2.2 「カントルの連続体問題とは何か」 (1947) 244
第3章 不完全性定理とプラトニズム 251
   3.1 ギブス講義 「数学基礎論におけるいくつかの基本的定理とその帰結」 (1951) 251
   3.2 「数学は言語の統語論か?」 258
第4章 概念実在論と数学的直観 267
   4.1 ゲーデルの概念実在論 267
   4.2 分析性の問題 270
   4.3 概念実在論と数学的直観 274
   4.4 数学はなぜ経験科学に適用できるのか 276
   4.5 「哲学からみた数学基礎論の現代的展開」 (1961) 279
   4.6 「カントルの連続体問題とは何か」への補遺 (1964) 281
   4.7 ゲーデルの「哲学」はいかに読まれるべきか 289
参考文献 291
おわりに 295
用語索引 296
人名索引 301
執筆者紹介 305
刊行にあたって iii
はじめに v
序 ゲーデルの集合論とその背景 田中一之 1
9.

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9. 不完全性定理と算術の体系
田中一之編
出版情報: 東京 : 東京大学出版会, 2007.3  xii, 284p ; 22cm
シリーズ名: ゲーデルと20世紀の論理学 (ロジック) / 田中一之編 ; 3
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刊行にあたって ⅲ
はじめに v
序 ゲーデルの不完全性定理とその背景 田中一之 1
   0.1 背景 7
   0.2 論文の概要と特徴 14
   0.3 算術化された完全性定理と不完全性定理 23
付録1 ヘラクレスとヒドラの戦い 27
付録2 ヒルベルトの第10問題 32
参考文献 34
第I部 第一不完全性定理と第二不完全性定理 鹿島亮 37
第1章 計算論 41
   1.1 計算可能性 41
   1.2 再帰的関数 45
   1.3 原始再帰的関数 47
   1.4 RE集合 48
   1.5 β関数によるコード化 50
   1.6 原始再帰の消去 55
第2章 ペアノ算術 59
   2.1 論理式 59
   2.2 証明 63
   2.3 PAの基本的な証明能力 67
   2.4 Σ₁完全性 69
   2.5 表現可能性 70
   2.6 PA以外の理論 74
第3章 第一不完全性定理 76
   3.1 第一不完全性定理の解釈 76
   3.2 ゲーデル数 78
   3.3 第一不完全性定理の正確な内容 80
   3.4 証明可能性述語 82
   3.5 対角化定理 83
   3.6 ゲーデルの第一不完全定理 85
   3.7 第一不完全性定理の拡張 87
   3.8 決定不能性に関するいくつかの結果 90
第4章 第二不完全性定理 93
   4.1 第二不完全性定理の意義 93
   4.2 導出可能性条件 94
   4.3 第二不完全性定理の証明 96
   4.4 レープの定理 98
第5章 証明可能性述語の詳細 100
   5.1 関数記号の追加 100
   5.2 有限列コード化定理の形式化 102
   5.3 証明可能性述語の定義 104
   5.4 導出可能性条件D2の証明 106
   5.5 Σ₁完全性定理の形式化 107
参考文献 113
第II部 逆数学と2階算術 山崎武 115
第1章 2階算術と部分体系 122
   1.1 2階算術 122
   1.2 Ⅱ11-CA₀とACA₀ 128
   1.3 RCA0 132
   1.4 WKL₀とATR₀ 137
第2章 数学の展開と逆数学 144
   2.1 コードとRCA₀上の数学 144
   2.2 逆数学 153
第3章 逆数学周辺 170
   3.1 ラムジーの定理とPAの独立命題 170
   3.2 フリードマンの定理とヒルベルトのプログラム 178
   3.3 フリードマンの原則II 185
   3.4 逆数学の拡大 191
参考文献 200
第III部 ダイアレクティカ解釈 白旗優 205
第1章 ダイアレクティカ解釈の背景 208
   1.1 集合論的パラドクスによって生じたいくつかの立場 209
   1.2 ヒルベルトのプログラム 213
   1.3 ゲンツェンの無矛盾性証明 217
   1.4 ダイアレクティカ解釈の位置づけ 222
第2章 ダイアレクティカ解釈の概要 227
   2.1 ペアノ算術からハイティング算術への還元 228
   2.2 型付きλ計算の等式理論としての体系T 232
   2.3 ハイティング算術のダイアレクティカ解釈 237
   2.4 ハイティング算術の無矛盾性 241
第3章 ダイアレクティカ解釈の展開 251
   3.1 計算可能関数を使ったモデル 252
   3.2 項の正規化によるモデル 257
   3.3 ペアノ算術のバリエーションへの応用 263
   3.4 ダイアレクティカ圏 268
参考文献 273
用語索引 275
人名索引 280
執筆者紹介 284
刊行にあたって ⅲ
はじめに v
序 ゲーデルの不完全性定理とその背景 田中一之 1
10.

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10. ゲーデルと20世紀の論理学 (ロジック)
田中一之編
出版情報: 東京 : 東京大学出版会, 2006.7-2007.7  4冊 ; 22cm
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