第1章 周期性 1 |
1.1 立体図形 1 |
1.2 グラフ 4 |
1.3 ダイヤモンド 7 |
1.4 蜂の巣 11 |
1.5 ベクトル 17 |
1.6 正三角形と正四面体 25 |
1.7 格子群 28 |
1.8 周期格子群 35 |
1.9 ダイヤモンド(格子)の数学的表現 38 |
1.10 基本有限グラフ 41 |
1.11 第1章の補遺 45 |
1.11.1 基本平行六面体の体積 45 |
1.11.2 定理1.5の証明 45 |
1.11.3 ロンスデーライト 46 |
第2章 対称性 49 |
2.1 合同変換 49 |
2.2 写像と結晶格子 55 |
2.3 正多面体 63 |
2.4 群について 68 |
2.5 正多面体群 74 |
2.6 結晶の対称性 77 |
2.7 第2章の補遺 84 |
2.7.1 合同変換 84 |
2.7.2 オイラーの定理の証明 87 |
第3章 最小原理 91 |
3.1 初等的最小原理 92 |
3.2 屈折の法則 96 |
3.3 最小作用の原理 98 |
3.4 調和振動子 100 |
3.5 調和振動子系としての結晶格子 102 |
3.6 標準的実現 104 |
3.7 第3章の補遺 111 |
3.7.1 相加平均と相乗平均の不等式 111 |
3.7.2 四面体に対する最小原理 112 |
3.7.3 曲面に「網を張る」こと-調和写像- 114 |
第4章 格子の数理 121 |
4.1 球の接吻-グレゴリー-ニュートン問題- 121 |
4.2 高次元空間 128 |
4.3 高次元における最大接吻数135 |
4.4 ルート格子 139 |
4.5 球の詰め込み-ケプラー予想- 145 |
4.6 高次元結晶格子とダイヤモンド 149 |
4.7 第4章の補遺 157 |
4.7.1 球面三角法 157 |
4.7.2 球面図形の表面積 161 |
4.7.3 定理4.3の証明 165 |
第5章 ランダム・ウォーク 167 |
5.1 ブラウン運動 167 |
5.2 統計 169 |
5.3 ブラウン運動の統計法則 172 |
5.4 確率 175 |
5.5 大数の法則 181 |
5.6 中心極限定理 185 |
5.7 結晶格子上のランダム・ウォーク 187 |
5.8 推移確率の漸近挙動と標準的実現 196 |
5.9 離散的ラプラシアン 199 |
5.10 第5章の補遺 203 |
5.10.1 スターリングの公式 203 |
5.10.2 ベルヌイ試行に対する中心極限定理 206 |
第6章 遠くから見た結晶格子 211 |
6.1 物理的意味での結晶格子の連続体極限 211 |
6.2 グラフ距離 213 |
6.3 極限図形 215 |
6.4 グロモフ理論 223 |
6.5 メッシュを細かくしていく 225 |
6.6 中心極限定理と大偏差-ランダム・ウォークを遠くから見る- 231 |
6.7 第6章の補遺 235 |
6.7.1 格子振動の方程式 235 |
6.7.2 アルキメデス多面体 235 |
参考文献 237 |
あとがき 239 |
索引 241 |