| まえがき v |
| 理論の概要と目標 ix |
| 第1章 散乱理論とは何か－波の散乱の枠組み 1 |
| §1.1 弾の物体による散乱 1 |
| §1.2 波の物体による散乱 6 |
| §1.3 散乱理論の枠組み 9 |
| （a） エネルギー有限な解（自由空間の場合） 10 |
| （b） エネルギー有限な解（外部領域の場合） 15 |
| （c） 波動作用素 18 |
| （d） 波動作用素の完全性と散乱作用素 21 |
| （e） 局所エネルギーの減衰と波動作用素の完全性 26 |
| 第2章 自由空間の並進表現 31 |
| §2.1 波動方程式の超関数解 31 |
| （a） 超関数解の定義 31 |
| （b） 初期値問題の解の存在と一意性 33 |
| （c） 有限伝播速度と依存領域 35 |
| §2.2 スペクトル表現 37 |
| （a） 奇数次元空間でのFourier変換 37 |
| （b） 初期値問題の解のFourier変換による表示 39 |
| （c） スペクトル表現 42 |
| §2.3 並進表現 44 |
| （a） スペクトル表現から並進表現へ 44 |
| （b） 並進表現を用いての波動方程式の解の表示 46 |
| （c） 波動方程式の解の漸近挙動 48 |
| （d） Huygensの原理 50 |
| §2.4 並進表現作用素Iの超関数への拡張 52 |
| （a） 作用素Iの拡張 52 |
| （b） Iの零空間 56 |
| （c） Ikの台が有界であるための条件 62 |
| §2.5 方程式(AD'-μI)f＝gの解の性質 67 |
| （a） 作用素Tの拡張 67 |
| （b） 方程式(AD'-μI)f＝gの未来外向的解の存在 69 |
| （c） 未来外向的解の具体的形 71 |
| （d） 未来外向的解の漸近形 75 |
| （e） 未来外向的解の漸近形（続き） 78 |
| （f） Sommerfeldの放射条件 80 |
| 第3章 外部領域の波と散乱行列 85 |
| §3.1 局所エネルギーの減衰 85 |
| （a） 同等な条件 85 |
| （b） U(t)fのt→∞のときの0への弱収束 88 |
| （c） 作用素Aのスペクトル 89 |
| （d） Wienerの定理と局所エネルギー減衰 92 |
| §3.2 散乱行列 95 |
| （a） Imz＜0でのS(z)の定義 96 |
| （b） S(σ)の定義 102 |
| §3.3 Lax-Phillips半群 110 |
| （a） 半群Z(t)の定義 110 |
| （b） Z(t)の性質 111 |
| §3.4 Lax-Phillips半群Z(t)と散乱行列S(z) 114 |
| （a） Kpの表示 114 |
| （b） 生成作用素Bの固有値とS*(z) 115 |
| （c） BのレゾルベントとS*(z)の正則点 118 |
| （d） スペクトル写像定理 126 |
| （e） (μI－B)およびS(z)は有理型である 131 |
| §3.5 方程式(μI-A)f＝gの解 138 |
| （a） (μI－A)f=0の非自明解とBの固有値 132 |
| （b） 方程式(μI-A)f=gの解 138 |
| （c） 方程式(μ－Δ)u＝hについて 140 |
| §3.6 散乱行列 141 |
| （a） f±のスペクトル表現 141 |
| （b） S(σ)の具体形 114 |
| （c） 散乱行列は物体Oを決定する 147 |
| 第4章 物体の形と散乱行列の極の分布 151 |
| §4.1 物体の捕捉性と非捕捉性 151 |
| （a） 幾何光学の軌道 152 |
| §4.2 Lax-Phillips半群の評価とS(z)の極の分布 155 |
| （a） Z(t)の評価から従うこと 155 |
| （b） 局所エネルギーの一様減衰 156 |
| （c） Lax-Phillips予想 159 |
| §4.3 Lax-Phillips予想をめぐって 160 |
| （a） エネルギーの一様減衰 160 |
| （b） 境界値問題の特異性の伝播 161 |
| （c） 2つの凸な物体の場合 162 |
| （d） 修正Lax-Phillips予想 165 |
| §4.4 散乱行列に関するいくつかの結果 167 |
| （a） 散乱行列の極の分布の評価 167 |
| （b） Weyl公式の類似 167 |
| （c） 凸な物体に対するWeyl公式 169 |
| （d） 準モードと実軸に近い極 170 |
| §4.5 跡公式の証明 173 |
| （a） トレース族 173 |
| （b） HからHへの正射影 176 |
| （c） ∫∞ φ(t)(U(t)P-U(t))dtはトレース族 180 |
| （d） trAφ=tr∫∞ φ(t)Z(t)dt 183 |
| （e） 跡公式の証明 185 |
| §4.6 いくつかの凸な物体の散乱核 189 |
| （a） 物体の条件 189 |
| （b） Oの外での幾何光学の周期軌道 190 |
| （c） 関数F(μ)とその性質 192 |
| （d） 定理とその証明方法 198 |
| §4.7 coxt√-ΔDの積分核の構成 201 |
| （a） データの分解 201 |
| （b） 漸近解の構成 202 |
| （c） 対角線部分の積分 205 |
| （d） F(μ)とゼータ関数との関係 208 |
| 今後の方向と課題 211 |
| 参考文献 219 |
| 索引 225 |
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