はしがき i |
はじめに iii |
第1部 多変数の微分積分学講義 1 |
第1講 偏微分の形式的扱い 2 |
1.1 多変数の関数 2 |
1.2 一様微分可能性 4 |
1.3 2変数関数の一様微分可能性 5 |
1.4 ベクトル値関数に関する量 8 |
1.5 微分法の連鎖律 10 |
第2講 接平面・極値問題 13 |
2.1 3次元空間のベクトル 13 |
2.2 接平面 15 |
2.3 変数変換・ヤコビ行列 18 |
2.4 極値問題の例 21 |
第3講 高階偏導関数 24 |
3.1 高階偏導関数 24 |
3.2 偏微分の順序交換定理 25 |
3.3 2次式による近似 30 |
3.4 テイラー展開 34 |
第4講 累次積分 36 |
4.1 体積の計算をふりかえる 36 |
4.2 区分求積再考と順序交換定理 38 |
4.3 体積の計算例 41 |
4.4 直交座標と極座標の変数変換 44 |
第5講 重積分 48 |
5.1 ジョルダン零集合 48 |
5.2 重積分の概念 49 |
5.3 重積分の直接計算例 52 |
5.4 重積分と累次積分 54 |
5.5 積分と微分の順序交換 56 |
第6講 重積分の変数変換 60 |
6.1 変数変換定理の意味 60 |
6.2 変換定理の実例 62 |
6.3 変換定理の証明(1)サードの定理 65 |
6.4 変換定理の証明(2)像の面積 67 |
6.5 変換定理の証明(3)定理6.1の証明 69 |
第7講 陰関数 71 |
7.1 陰関数の微分公式 71 |
7.2 陰関数定理 73 |
7.3 2曲面の交線 75 |
7.4 陰関数の具体的構成(1)逐次反復 78 |
7.5 陰関数の具体的構成(2)Φ[f]の性質の検証 80 |
第8講 逆写像・関数関係 83 |
8.1 多変数の逆写像 83 |
8.2 関数関係(1)必要条件 86 |
8.3 関数関係(2)十分条件 88 |
8.4 関数間の一次従属性 90 |
第9講 条件付き極値問題 94 |
9.1 条件付き極値問題 94 |
9.2 ラグランジュ乗数の意味 95 |
9.3 定理9.1の停留点は鞍点である 99 |
9.4 不等式制約条件下の極値問題 100 |
9.5 罰金法について 103 |
第10講 線積分 106 |
10.1 線積分の定義 106 |
10.2 線積分の性質と例 108 |
10.3 グリーンの定理 110 |
10.4 グリーンの定理の応用 113 |
10.5 曲線Cで囲まれる面積 116 |
第11講 面積分 119 |
11.1 曲面積 119 |
11.2 曲面積分 121 |
11.3 ガウスの定理とその応用 122 |
11.4 ストークスの定理 126 |
11.5 ベクトル・ポテンシャル 128 |
第12講 全微分方程式 130 |
12.1 全微分方程式とは 130 |
12.2 2変数の全微分方程式 131 |
12.3 3変数単独の全微分方程式 133 |
12.4 3変数の連立全微分方程式 135 |
12.5 ヤコビの最終乗式 136 |
12.6 常微分方程式への応用例 139 |
12.7 むすびの言 141 |
第2部 関連事項補充 143 |
第1話 一様微分可能性について 144 |
1.1 一様微分可能性の意味 144 |
1.2 接平面の定義について 145 |
第2話 微分法の平均値定理 147 |
2.1 微分学の基本定理 147 |
2.2 微分法の平均値定理 150 |
2.3 2変数への拡張 152 |
第3話 最大最小問題補充 156 |
3.1 1変数の最大最小問題 156 |
3.2 多変数の場合 -鞍点に注意 159 |
3.3 一つの幾何学的極値問題 161 |
3.4 ふたたび鞍点に注意 163 |
3.5 曲線上の最近点 166 |
3.6 ある極値問題と不等式 167 |
第4話 包絡線の実例 172 |
4.1 包絡線とは 172 |
4.2 放物線になる例 173 |
4.3 2直線にまたがる線分 174 |
4.4 2次曲線になる例 177 |
4.5 シムソン線の包絡線 179 |
第5話 多変数のベキ級数 182 |
5.1 2変数のベキ級数(付優極限) 182 |
5.2 関連収束半径 183 |
第6話 積分の応用例補充 186 |
6.1 面積の例 186 |
6.2 体積の例 188 |
6.3 連続分布の統計量 192 |
第7話 多変数の変格微分 194 |
7.1 全平面で正値関数の積分 194 |
7.2 絶対収束する変格積分 196 |
7.3 条件収束する例 198 |
第8話 凸関数と不等式 201 |
8.1 凸関数の基本的性質 201 |
8.2 凸関数の応用と拡張 204 |
8.3 不等式への応用 205 |
8.4 陰関数の描画について 208 |
第9話 条件付き極値問題補充 212 |
9.1 ラグランジュ乗数の意味(続き) 212 |
9.2 潜在価格が負になる例 213 |
9.3 不等式制約条件の例(続き) 217 |
9.4 クーン・タッカーの定理について 221 |
第10話 曲線の長さと曲線で囲まれる面積 225 |
10.1 曲線の長さ 225 |
10.2 曲線の長さの例 226 |
10.3 閉曲線で囲まれる図形の面積 229 |
10.4 4次曲線で囲まれる面積 232 |
10.5 ルーレット曲線に関する一般的な定理 233 |
第11話 調和関数の基本性質 238 |
11.1 調和関数の例 238 |
11.2 調和関数の性質 239 |
第12話 曲面積 243 |
12.1 曲面積の定義 243 |
12.2 曲面積の基本公式 244 |
12.3 曲面積の実例 246 |
12.4 球面三角形の面積 250 |
12.5 高次元超球面の表面積 252 |
付録 解説補充と例題の略解 256 |
参考文献 266 |
索引 267 |