| 第1章 擬似空間 |
| §1.擬似空間 |
| 1.1.3次元ユークリッド空間における擬似変換および擬似変換群 1 |
| 1.2.擬似幾何学と擬似空間 7 |
| 1.3.n次元擬似空間 13 |
| 1.4.n次元擬似空間の平行座標系と擬似変換群 18 |
| §2.擬似空間のベクトルとテンソル |
| 2.1.線型空間 24 |
| 2.2.双対空間 28 |
| 2.3.反変ベクトルと共変ベクトル 30 |
| 2.4.テンソルの定義 35 |
| 2.5.テンソルの演算(指標の置換と交代) 40 |
| 2.6.テンソルの演算(テンソルの積と縮約) 42 |
| §3.交代テンソルとグラスマン代数 |
| 3.1.p-ベクトルと交代テンソルおよびテンソル密度 47 |
| 3.2.外積代数とp-形式 52 |
| §4.擬似空間におけるテンソル場と曲線座標 |
| 4.1.テンソル場 56 |
| 4.2.曲線座標系と座標近傍 59 |
| 4.3.自然なフレームと自然な基 61 |
| 4.4.曲線の接線ベクトルとスカラー場の勾配 63 |
| 4.5.曲線座標系の変換 66 |
| 4.6.曲線座標系の接続と共変微分 68 |
| §5.計量構造と複素構造 |
| 5.1.計量テンソルとユークリッド空間 72 |
| 5.2.複素構造と複素空間 76 |
| 5.3.エルミート空間とユニタリ空間 81 |
| §6.古典幾何学と変換群 |
| 6.1. クラインのエルランゲン目録 84 |
| 6.2.射影変換群と射影幾何学 85 |
| 6.3.共形変換群と共形幾何学 88 |
| 演習問題1 91 |
| 第2章 微分可能多様体と接続 |
| §7.微分可能多様体 |
| 7.1.位相空間 93 |
| 7.2.微分可能多様体と局所座標 96 |
| 7.3.函数と微分 99 |
| 7.4.接空間とテンソル 103 |
| 7.5.スカラー場,ベクトル場およびテンソル場 105 |
| 7.6.微分可能な写像 107 |
| §8.ファイバー・バンドルと接続 |
| 8.1.座標バンドルとファイバー・バンドル 110 |
| 8.2.微分可能多様体の接空間とファイバー・バンドル 112 |
| 8.3.フレーム・バンドル 117 |
| 8.4.ファイバー・バンドルの接続(I) 121 |
| 8.5 ファイバー・バンドルの接続(II) 122 |
| 練習問題2 128 |
| 第3章 擬似接続 |
| §9.擬似接続 |
| 9.1.接空間バンドルの接続 130 |
| 9.2.主ファイバー・バンドルと接続 131 |
| 9.3.リフト 134 |
| 9.4.曲線に沿って行なう平行移動 135 |
| 9.5.共変微分と共変微分係数 138 |
| 9.6.測地線 143 |
| 9.7.指数写像 145 |
| 9.8.曲線に沿って行なう展開 148 |
| 9.9.擬似変換群の主ファイバー・バンドル 154 |
| §10.擬似接続の捩率テンソルと曲率テンソル |
| 10.1.曲線の展開と捩率テンソル 158 |
| 10.2.曲率テンソル 161 |
| 10.3.共変微分と捩率テンソルおよび曲率テンソルの関係 162 |
| 10.4.捩率テンソルおよび曲率テンソルに関する恒等式 164 |
| 10.5.平坦な擬似接続空間 165 |
| §11.外微分形式と構造方程式 |
| 11.1.外微分形式と外微分 168 |
| 11.2.フレームによる擬似接続の表現と構造方程式 171 |
| 練習問題3 173 |
| 第4章 対称接続 |
| §12.対称接続 |
| 12.1.標準座標系 174 |
| 12.2.標準テンソル 178 |
| 12.3.対称空間 181 |
| 12.4.テンソルの展げ 182 |
| 12.5.フェルミ座標 184 |
| 12.6.連立偏微分方程式の1つの定理 187 |
| 12.7.対称接続の同等 190 |
| §13.測地線の近傍 |
| 13.1.ヤコビの方程式 194 |
| 13.2.連立常微分方程式の共役点 196 |
| 13.3.測地線の共役点 204 |
| 練習問題 4 208 |
| 第5章 擬似接続空間におけるベクトル場およびテンソル場 |
| §14.ベクトル場およびディストリピューション |
| 14.1.平行な反変ベクトル場 209 |
| 14.2.ディストリピューション 211 |
| 14.3.対称擬似接続空間における平行なディストリピューション 218 |
| 14.4.体積不変な接続 219 |
| 14.5.遠隔平行性を計容する擬似接続空間 220 |
| §15.対称な2階のテンソル場とその共変微分 |
| 15.1.クリストッフェルの3添字記号 221 |
| 15.2.リーマン・クリストッフェルの曲率テンソル 225 |
| 15.3.概計量構造と接空間バンドル 227 |
| §16.概複素構造と複素構造 |
| 16.1 概複素構造と概エルミート構造 229 |
| 16.2 ナイエンハイスのテンソル 232 |
| 16.3.複素多様体と複素構造 233 |
| 16.4.擬似接続空間における概複素構造 238 |
| 練習問題5 240 |
| 第6章 擬似接続空間における部分空間 |
| §17.曲線の性質 |
| 17.1.曲線の擬似媒介変数 243 |
| 17.2.曲線の擬似法線ベクトル 245 |
| §18.対称擬似接続空間における超曲面 |
| 18.1.微分可能多様体における超曲面と接空間 248 |
| 18.2.擬法ベクトル 250 |
| 18.3.超曲面における誘導接続 253 |
| 18.4.超曲面における共変微分と超曲面の曲率 256 |
| 18.5.擬似空間の超曲面における擬似法線 260 |
| 18.6.擬似法線と擬法ベクトル 267 |
| 18.7.等積接続の空間における超曲面 269 |
| §19.超曲面の幾何学 |
| 19.1.ガウスおよびコダッチの方程式 272 |
| 19.2.超曲面の幾何学 275 |
| 19.3.擬似空間における超曲面に関する基礎定理 277 |
| 19.4.擬似接続空間における超曲面の存在定理 279 |
| 19.5.超曲面上の曲線 281 |
| §20.部分空間 |
| 20.1.部分空間の自然なフレームと擬法ベクトル 285 |
| 20.2.部分空間における誘導接続 286 |
| 20.3.ガウス,コダッチおよびリッチの方程式 287 |
| 20.4.部分空間の幾何学 288 |
| 練習問題 6 290 |
| 第7章 擬似接続の射影変換 |
| §21.非対称接続の射影変換 |
| 21.1.非対称接続の係数から導かれる基本的なテンソル 291 |
| 21.2.測地線と接続の射影変換 292 |
| 21.3.片側の射影変換で不変なテンソル 296 |
| §22.対称擬似接続の射影変換と道の射影幾何学 |
| 22.1.対称擬似接続の射影変換 297 |
| 22.2.射影変換によって不変なテンソル 298 |
| 22.3.射影的に平坦な空間 301 |
| 22.4.射影的に平坦なリーマン空間 303 |
| 練習問題7 305 |
| 第8章 擬似接続と群 |
| §23.群空間の接続 |
| 23.1 モーレル・カルタンの方程式 306 |
| 23.2 群空間の(+)-接続 308 |
| 23.3.群空間の(+)-接続と(-)-接続 310 |
| 23.4.群空間の(0)-接続 312 |
| §24.りー導函数と擬似接続 |
| 24.1.ベクトル場と変換群芽 313 |
| 24.2.ベクトルおよびテンソルのリー導函数 315 |
| 24.3.擬似接続のリー導函数 317 |
| 24.4.リー導函数と接続の関係 320 |
| 24.5.擬似運動群 320 |
| §25.ホロノミー群 |
| 25.1.ホロノミー群 325 |
| 25.2.ホロノミー群と曲率テンソル 328 |
| 練習問題8 333 |
| 補註 335 |
| 問題の答 340 |
| 参考書 360 |
| 索引 368 |
| 第1章 擬似空間 |
| §1.擬似空間 |
| 1.1.3次元ユークリッド空間における擬似変換および擬似変換群 1 |
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