| 注 : g[j](n)，Φ[j](n)とΦ[j][*](n)の[j]は下つき文字[*]は上つき文字 |
| |
| 第Ⅰ章 古典的数学理論 1 |
| Ⅰ.1 用語の導入 1 |
| Ⅰ.2 最古の微分方程式 3 |
| ニュートン 4 |
| ライプニッツとベルヌーイ兄弟 5 |
| 変分学 6 |
| クレーロー 9 |
| 演習問題 10 |
| Ⅰ.3 初等積分法 11 |
| 1階微分方程式へ 11 |
| 2階微分方程式 12 |
| 演習問題13 |
| Ⅰ.4 線型微分方程式 15 |
| 定数係数方程式 16 |
| 定数変化法 18 |
| 演習問題 19 |
| Ⅰ.5 弱特異性を持つ方程式 19 |
| 線型方程式 20 |
| 非線型方程式 23 |
| 演習問題 23 |
| Ⅰ.6 連立微分方程式 25 |
| 振動する弦と音の伝播 25 |
| フーリエ 29 |
| ラグランジュ力学 30 |
| ハミルトン力学 32 |
| 演習問題 34 |
| Ⅰ.7 存在性の一般定理 34 |
| オイラー法の収束 35 |
| ペアノの存在定理 41 |
| 演習問題 43 |
| Ⅰ.8 反復法とテイラー級数を用いた存在理論 44 |
| ピカール－リンデレーフ反復 45 |
| テイラー級数 46 |
| テイラー係数の再帰的計算 47 |
| 演習問題 49 |
| Ⅰ.9 連立微分方程式に対する存在定理 50 |
| ベクトル表記 51 |
| 従属行列ノルム5 3 |
| 演習問題 55 |
| Ⅰ.10 微分不等式 55 |
| はじめに 56 |
| 基本定理 57 |
| 片側リプシッツ条件を用いた評価 59 |
| 演習問題 62 |
| Ⅰ.11 線型微分方程式系 63 |
| レゾルベントとロンスキー行列 64 |
| 非斉次線型微分方程式 65 |
| アーベル－リュヴィユ－ヤコビ－オストログラッキーの等式 66 |
| 演習問題 66 |
| Ⅰ.12 定数係数連立系 68 |
| 線型化 68 |
| 対角化 69 |
| シューア分解 70 |
| 数値計算 71 |
| ジョルダン標準形 73 |
| 幾何学的表現 76 |
| 演習問題 77 |
| Ⅰ.13 安定性 79 |
| はじめに 79 |
| ラウス－フルヴィッツ判定法 80 |
| 数値計算に関する考察 84 |
| リャプーノフ関数 85 |
| 非線型系の安定性 87 |
| 非自励系の安定性 88 |
| 演習問題 89 |
| Ⅰ.14 パラメータと初期値に関する微分 92 |
| パラメータに関する導関数 92 |
| 初期値に関する導関数 94 |
| 非線型定数変化法 95 |
| 流れと体積保存流れ 97 |
| 正準方程式とシンプレクティック写像 99 |
| 演習問題 104 |
| Ⅰ.15 境界値問題と固有値問題 104 |
| 境界値問題 104 |
| スチュルム－リユヴィユの固有値問題 106 |
| 演習問題 109 |
| Ⅰ.16 周期解，極限周期軌道，ストレンジ・アトラクタ 110 |
| ファン・デル・ポル方程式 110 |
| 化学反応系 115 |
| 高次元での極限周期軌道，ホップ分岐 116 |
| ストレンジ・アトラクター 119 |
| ローレンツ・モデルにおける上昇と下降 122 |
| ファイゲンバウムのすだれ 123 |
| 演習問題 125 |
| 第Ⅱ章 ルンゲ－クッタ法と補外法 129 |
| Ⅱ.1 ルンゲ－クッタ法ことはじめ 131 |
| ルンゲ－クッタ法の一般公式 133 |
| 4次法の検討 134 |
| 「最適な」公式群 138 |
| 数値例 139 |
| 演習問題 139 |
| Ⅱ.2 ルンゲ－クッタ法の次数条件 141 |
| 真の解の導関数 143 |
| 3次条件 144 |
| 木と基本微分 144 |
| 真の解のテイラー展開 146 |
| ファン・ディ・ブルノの公式 148 |
| 数値解の導関数 149 |
| 次数条件 152 |
| 演習問題 153 |
| Ⅱ.3 ルンゲ－クッタ法の誤差評価と収束性 154 |
| 誤差の厳密上界 155 |
| 主要誤差項 156 |
| 大域誤差の評価 158 |
| 演習問題 161 |
| Ⅱ.4 実用的な誤差評価とステップ幅の選択 162 |
| リチャードソン補外 162 |
| 埋め込み型ルンゲ－クッタ公式 164 |
| 自動ステップ幅制御 165 |
| 出発ステップ幅 167 |
| 数値実験 168 |
| 演習問題 170 |
| Ⅱ.5 高次の陽的ルンゲ－クッタ法 171 |
| ブッチャーの障壁 171 |
| 6段5次公式 172 |
| 5次の埋め込み型公式 174 |
| 高次公式 176 |
| 高次の埋め込み型公式 177 |
| 8次の埋め込み型公式 178 |
| 演習問題 182 |
| Ⅱ.6 密出力，不連続性，導関数 184 |
| 密出力 184 |
| 連続ドルマン－プリンスペア 187 |
| DOP853の密出力 190 |
| イベント箇所の特定 191 |
| 不連続な微分方程式 192 |
| 初期値とパラメータに関する導関数の数値計算 196 |
| 演習問題 197 |
| Ⅱ.7 陰的ルンゲ－クッタ法 199 |
| 数値解の存在 201 |
| 2s次のクンツマン－ブッチャー法 203 |
| ロバット積分則に基づくIRK法 206 |
| 選点法 207 |
| 演習問題 210 |
| Ⅱ.8 大域誤差の漸近展開 211 |
| 大域誤差 212 |
| 可変ステップ幅h 213 |
| 負のステップ幅h 214 |
| 随伴法の性質 215 |
| 対称法 216 |
| 演習問題 217 |
| Ⅱ.9 補外法 218 |
| 補外法の定義 219 |
| エイトキン－ネヴィル・アルゴリズム 221 |
| グラッグまたはGBS法 222 |
| 奇数番に対する漸近展開 226 |
| 任意次数の陽的RK法の存在 226 |
| 次数とステップ幅制御 227 |
| GBS法における密出力 231 |
| 補間誤差の制御 234 |
| 演習問題 235 |
| Ⅱ.10 数値解の比較検討 237 |
| 問題 237 |
| 各コードの実行性能 242 |
| DOP853の「伸張」誤差推定子 247 |
| ODEXでのステップ数列の効果 249 |
| Ⅱ.11 並列解法 250 |
| 並列ルンゲ－クッタ法 251 |
| 並列反復ルンゲ－クッタ法 253 |
| 補外法 254 |
| 信頼性の向上 254 |
| 演習問題 256 |
| Ⅱ.12 B級数の合成 256 |
| ルンゲ－クッタ法の合成 257 |
| B級数 258 |
| ルンゲ－クッタ法の次数条件 261 |
| ブッチャーの「実効次数」 262 |
| 演習問題 264 |
| Ⅱ.13 高階導関数法 266 |
| 選点法 267 |
| エルミート－オブレシュコフ法 269 |
| フェールベルク法 270 |
| 次数条件の一般定理 271 |
| 演習問題 273 |
| Ⅱ.14 2階常微分方程式の数値解法 274 |
| ニュストレム法275 |
| 厳密解の導関数 277 |
| 数値解の導関数 279 |
| 次数条件 281 |
| ニュストレム法の構成について 282 |
| y"＝f(x,y)に対する補外法 285 |
| 数値的比較のための例題 287 |
| コードの性能 289 |
| 演習問題 291 |
| Ⅱ.15 分雛型微分方程式系に対するP級数 292 |
| 厳密解の導関数とP木 294 |
| P級数 297 |
| 分雛型ルンゲ－クッタ法の次数条件 298 |
| P級数のさらなる応用 299 |
| 演習問題 301 |
| Ⅱ.16 シンプレクティック積分法 301 |
| シンプレクティック・ルンゲ－クッタ法 305 |
| 銀河力学からの例 309 |
| 分雛型ルンゲ－クッタ法 315 |
| シンプレクティックなニュストレム法 319 |
| ハミルトニアンの保存性，後退解析 322 |
| 演習問題 325 |
| Ⅱ.17 遅延微分方程式 327 |
| 存在性 328 |
| 定数遅延に対する定数ステップ幅法 329 |
| 可変ステップ法 331 |
| 安定性 332 |
| 人口力学の例 333 |
| 伝染病モデル 335 |
| 酵素反応論からの例 337 |
| 免疫学における数理モデル 338 |
| 積分微分方程式 339 |
| 演習問題 341 |
| 第Ⅲ章 多段階法と一般線型法 343 |
| Ⅲ.1 古典的線型多段階公式 343 |
| 陽的アダムス法 344 |
| 陰的アダムス法 346 |
| 数値実験 348 |
| 陽的ニュストレム法 348 |
| ミルヌ－シンプソン法 350 |
| 微分を基礎とした解法（BDF） 351 |
| 演習問題 353 |
| Ⅲ.2 局所誤差と次数条件 354 |
| 多段階法の局所誤差 355 |
| 多段階法の次数 356 |
| 誤差定数 358 |
| 既約公式 360 |
| 多段階法のペアノ核 361 |
| 演習問題 363 |
| Ⅲ.3 安定性とダールクィストの第1障壁 363 |
| BDF公式の安定性 366 |
| 安定多段階法の最高達成可能次数 369 |
| 演習問題 373 |
| Ⅲ.4 多段階法の収束性 375 |
| 一段階法としての定式化 378 |
| 収束性の証明 380 |
| 演習問題 381 |
| Ⅲ.5 可変ステップ幅多段階法 381 |
| 可変ステップ幅アダムス法 382 |
| 係数のg[j](n)，Φ[j](n)とΦ[j][*](n)の漸化式 383 |
| 可変ステップ幅BDF 384 |
| 一般的な可変ステップ幅法とその次数 385 |
| 安定性 386 |
| 収束性 391 |
| 演習問題 393 |
| Ⅲ.6 ノルツェック法 393 |
| 多段階法との等価性 396 |
| 陰的アダムス法 401 |
| BDF法 402 |
| 演習問題 403 |
| Ⅲ.7 実装と数値的比較 403 |
| ステップ幅と次数の選択 404 |
| 利用できるコード 405 |
| 数値実験による比較 408 |
| Ⅲ.8 一般線型法 412 |
| 一般的求解手順 413 |
| 安定性と次数 417 |
| 収束性 420 |
| 一般線型法の次数条件 422 |
| 一般線型法の構成 424 |
| 演習問題 426 |
| Ⅲ.9 大域誤差の漸近展開 428 |
| 例による導入 429 |
| 強安定法（8.4）の漸近展開 429 |
| 弱安定法 434 |
| 随伴法 437 |
| 対称法 439 |
| 演習問題 440 |
| Ⅲ.10 2階常微分方程式に対する多段階法 441 |
| 陽的シュテルマー法 442 |
| 陰的シュテルマー法 444 |
| 数値例 445 |
| 一般的定式化 447 |
| 収束性 449 |
| 大域誤差の漸近公式 451 |
| 丸め誤差対策 452 |
| 演習問題 453 |
| 付録 Fortranコード集 455 |
| 参考文献 471 |
| 記号索引 499 |
| 事項索引 501 |
| 注 : ∥・∥[∞]と∥・∥[1]の[∞]と[1]は下つき文字 |
| 注 : α[0]（A-[1]）の[0]、[1]は下つき文字 |
| 第Ⅳ章 スティフ問題－一段階法 1 |
| Ⅳ.1 スティフな方程式の例 2 |
| 化学反応系 3 |
| 電気回路 4 |
| 拡散 6 |
| 「硬い」梁 8 |
| 高周波振動 11 |
| 演習問題 13 |
| Ⅳ.2 陽的ルンゲ－クッタ法の安定性解析 15 |
| オイラー法の安定性解析 15 |
| 陽的ルンゲ－クッタ法 16 |
| 補外法 18 |
| Ⅳ.1 節の例の解析の 19 |
| スティフ性の自動検出 21 |
| ステップ制御安定性 24 |
| PIステップ幅制御 28 |
| 安定化陽的ルンゲ－クッタ法 32 |
| 演習問題 38 |
| Ⅳ.3 陰的ルンゲ－クッタ法の安定性関数 41 |
| 安定性関数 42 |
| A安定性 43 |
| L安定性とA（α）安定性 46 |
| 数値結果 48 |
| 次数s以上の安定性関数 49 |
| 指数関数のパデ近似 50 |
| 演習問題 51 |
| Ⅳ.4 次数星 52 |
| はじめに 53 |
| 有理近似の次数と安定性 58 |
| パデ近似の安定性 60 |
| 安定性領域の比較 61 |
| 実数の極を持つ有理関数近 64 |
| 実極サンドウィッチ 65 |
| 重複実極近似 70 |
| 演習問題 73 |
| Ⅳ.5 陰的ルンゲ－クッタ法の構成 74 |
| ガウス法74 |
| ラダウIA法とラダウIIA法 75 |
| ロバットIIIA法，IIIB法，IIIC法 77 |
| W変換 80 |
| 陰的ルンゲ－クッタ法の構成 86 |
| 安定性関数 87 |
| 正関数 89 |
| 演習問題 91 |
| Ⅳ.6 対角陰的ルンゲ－クッタ法 93 |
| 次数条件 94 |
| 硬精密なSDIRK法 96 |
| 安定性関数 98 |
| R（∞）＝0となる重複実極近似 100 |
| パラメータの決定 101 |
| 演習問題 103 |
| Ⅳ.7 ローゼンブロック型の方法 104 |
| 方法の導出 105 |
| 次数条件 106 |
| 安定性関数 109 |
| 4次法の構成 111 |
| 高次の解法 113 |
| ローゼンブロック型の方法の実装 114 |
| 「こぶ」 115 |
| 不正確なヤコビ行列を持つ方法（W法） 117 |
| 演習問題 119 |
| Ⅳ.8 陰的ルンゲ－クッタ法の実装 120 |
| 非線型系の再定式化 121 |
| 簡約ニュートン反復 121 |
| 線型方程式系 124 |
| ステップ幅の選択 125 |
| 陰的微分方程式 130 |
| SDIRKコード 130 |
| SIRK法 131 |
| 演習問題 133 |
| Ⅳ.9 補外法 133 |
| 対称法の補外 134 |
| 平滑化 135 |
| 線型陰的中点則 136 |
| 陰的および線型陰的オイラー法 140 |
| 実装 142 |
| 演習問題 144 |
| Ⅳ.10数値実験 145 |
| 使用するコード 145 |
| 12個のテスト問題 146 |
| 結果と検討 154 |
| 分離法と射影法 163 |
| 演習問題 168 |
| Ⅳ.11 線型問題に対する縮小性 169 |
| ユークリッド・ノルム（フォン・ノイマンの定理） 169 |
| 線型問題に対する誤差増大関数 171 |
| 微小非線型摂動 174 |
| ∥・∥[∞]と∥・∥[1]における縮小性 177 |
| 閾値因子の考察 178 |
| 絶対単調関数 180 |
| 演習問題 181 |
| Ⅳ.12 B安定性と縮小性 182 |
| 片側リプシッツ条件 182 |
| B安定性と代数的安定性 183 |
| 代数的安定なIRK法 185 |
| AN安定性 187 |
| 可約ルンゲ－クッタ法 189 |
| S既約な方法に対する同値定理 191 |
| 誤差増大関数 195 |
| ψB(x)の求め方 198 |
| 演習問題 201 |
| Ⅳ.13 正係数数値積分公式とB安定なRK法 203 |
| 数値積分公式および関連した連分数 204 |
| 正の重みの個数 207 |
| 正係数数値積分公式の特徴付け 208 |
| 代数的安定性の必要条件 209 |
| 代数的安定な方法の特徴付け 212 |
| A安定性とB安定性の「同値性」 214 |
| 演習問題 216 |
| Ⅳ.14 IRK法による解の存在性と一意性 218 |
| 存在性 219 |
| 反例 221 |
| 摂動の影響と一意性 222 |
| α[0]（A-[1]）の計算 223 |
| 特異なAを持つ方法 225 |
| ロバットIIIC法 227 |
| 演習問題 227 |
| Ⅳ.15 B収束 228 |
| 次数逓減現象 229 |
| 局所誤差 232 |
| 誤差伝播 233 |
| 可変ステップ幅に対するB収束 234 |
| B収束ならば代数的安定である 235 |
| 台形則 238 |
| ローゼンブロック法の次数逓減 240 |
| 演習問題 241 |
| 第Ⅴ章 スティフ問題に対する多段階法 243 |
| Ⅴ.1 多段階法の安定性 243 |
| 安定性領域 244 |
| アダムス法 246 |
| 予測子・修正子スキーム 247 |
| ニュストレム法 249 |
| BDF 250 |
| ダールクィストの第2障壁 251 |
| 演習問題 252 |
| Ⅴ.2 「慨」A安定多段階法 253 |
| A（α）安定性とスティフ安定性 254 |
| 高次A（α）安定法 255 |
| 高次法による低次法の近似 257 |
| 円板定理 258 |
| 多段階法の精度障壁 258 |
| 演習問題 262 |
| Ⅴ.3 一般化多段階法 264 |
| エンライトの2階導関数多段階法 265 |
| 2階導関数BDF法 268 |
| 混成多段階法 269 |
| キャッシュの拡張多段階法 271 |
| 多段階選点法 274 |
| 「ラダウ」型の解法 276 |
| 演習問題 279 |
| Ⅴ.4 リーマン面上の次数星 282 |
| リーマン面 283 |
| 数値計算量を示す極 288 |
| 次数と次数星 289 |
| 「ダニエル－ムーア予想」 291 |
| 性質Cを持つ方法 293 |
| 一般線型法 295 |
| 双対次数星 300 |
| 演習問題 302 |
| Ⅴ.5 多段階法による数値実験 304 |
| 使用したコード 305 |
| 演習問題 309 |
| Ⅴ.6 片足法とG安定性 310 |
| 片足（多段階）法 310 |
| 存在と一意性 311 |
| G安定性 312 |
| 代数的判定法 314 |
| A安定性とG安定性との同値性 315 |
| 正関数の判定法 318 |
| 片足法の誤差限界 319 |
| A安定な多段階法の収束性 322 |
| 演習問題 323 |
| Ⅴ.7 線型問題に対する収束性 325 |
| 大域誤差に対する差分方程式 325 |
| クライスの行列定理 327 |
| クライスの行列定理のいくつかの応用 330 |
| プロセロ－ロビンソンの問題に対する大域誤差 332 |
| 定係数線型系に対する収束性 333 |
| フォン・ノイマンの定理の行列値版 334 |
| 離散版定数変化法 336 |
| Ⅴ.8 非線型問題に対する収束性 342 |
| 片側リプシッツ条件を満たす問題 343 |
| 乗数技法 346 |
| 乗数と非線型性 349 |
| 離散版定数変化法と摂動 351 |
| 非線型放物型問題の収束性 353 |
| 演習問題 358 |
| Ⅴ.9 一般線型法の代数的安定性 359 |
| G安定性 360 |
| 代数的安定性 361 |
| AN安定性と同値性 362 |
| 多段階ルンゲ－クッタ法 366 |
| 簡易化の仮定 366 |
| 数値積分公式 368 |
| 2s次の代数的安定な方法 370 |
| B収束性 371 |
| 演習問題 372 |
| 第Ⅵ章 特異摂動問題と指数1問題 375 |
| Ⅵ.1 指数1問題の解法 375 |
| ファン・デル・ポル方程式の漸近解 .376 |
| 指数1問題に対するε埋め込み法 378 |
| 状態空間形式法 379 |
| トランジスタ増幅器 380 |
| Mu'＝ψ（μ）の形式の問題 382 |
| ルンゲ－クッタ法の収束性 384 |
| 演習問題 386 |
| Ⅵ.2 多段階法 386 |
| 指数1問題に対する方法 387 |
| 特異摂動問題に対する収束性 388 |
| 演習問題 392 |
| Ⅵ.3 厳密解とRK法の解のε展開 392 |
| 滑らかな解の展開 392 |
| 境界層項を持つ展開 393 |
| 剰余項の見積もり 396 |
| ルンゲ－クッタ法の解の展開 397 |
| 微分代数方程式系に対するルンゲ－クッタ法の収束性 399 |
| ルンゲ－クッタ法の解の存在と一意性 401 |
| 摂動の影響 402 |
| 数値解における剰余項の評価 403 |
| 数値例 408 |
| 初期値に対する摂動 408 |
| 演習問題 411 |
| Ⅵ.4 ローゼンブロック法 411 |
| 方法の定義 411 |
| 厳密解の導関数 413 |
| 木と基本微分 414 |
| 厳密解のテイラー展開 415 |
| 数値解のテイラー展開 417 |
| 次数条件 419 |
| 収束性 421 |
| 硬精密なローゼンブロック法 423 |
| 硬精密な埋め込み型解法RODASの構成 425 |
| 矛盾のある初期値に関する考察 427 |
| 演習問題 429 |
| Ⅵ.5 補外法 430 |
| 線型陰的オイラー離散化 430 |
| 摂動項付きの漸近展開 433 |
| 次数表 436 |
| 特異摂動問題における誤差の展開 438 |
| 密出力 443 |
| 演習問題445 |
| Ⅵ.6 準線型問題 446 |
| 例 : 移動有限要素法 447 |
| 指数1の問題 449 |
| C(y)y'＝f(y)の数値解法 451 |
| 補外法 452 |
| 第Ⅶ章 高指数の微分代数方程式 455 |
| Ⅶ.1 指数とその様々な例 456 |
| 定数係数の線型方程式 456 |
| 微分指数 458 |
| 多様体上の微分方程式 461 |
| 摂動指数 463 |
| 制御問題 466 |
| 機械力学系 467 |
| 演習問題 470 |
| Ⅶ.2 指数逓減法 472 |
| 微分による指数逓減 472 |
| 射影による安定化 475 |
| 不変量を有する微分方程式 477 |
| 局所状態空間形式に基づく方法 478 |
| 過剰決定微分代数方程式 482 |
| 非構造的高指数問題 483 |
| 演習問題 485 |
| Ⅶ.3 指数2のDAEに対する多段階法 485 |
| 数値解の存在と一意性 486 |
| 摂動の影響 488 |
| 局所誤差4 89 |
| BDFの収束性 490 |
| 一般の多段階法 493 |
| 簡約ニュートン法による非線型系の解 495 |
| 演習問題 496 |
| Ⅶ.4 指数2のDAEに対するルンゲ－クッタ法 496 |
| 非線型系 497 |
| 局所誤差の評価 499 |
| y成分についての収束性 500 |
| z成分についての収束性 502 |
| 選点法 503 |
| 選点法の超収束性 504 |
| 射影ルンゲ－クッタ法 506 |
| 収束性に関する結果の要約 508 |
| 演習問題 508 |
| Ⅶ.5 指数2のDAEに対する次数条件 510 |
| 厳密解の導関数 510 |
| 木と基本微分 511 |
| 厳密解のテイラー展開 512 |
| 数値解の導関数 514 |
| 次数条件 516 |
| 簡易化の仮定 517 |
| 射影ルンゲ－クッタ法 519 |
| 演習問題 522 |
| Ⅶ.6 指数2問題に対する半陽解法 523 |
| 半陽的ルンゲ－クッタ法 523 |
| 補外法 528 |
| βブロック多段階法 531 |
| 演習問題 533 |
| Ⅶ.7 多体機械系の計算 533 |
| モデルの記述 533 |
| Fortranサブルーチン 537 |
| 無矛盾な初期値の計算 539 |
| 数値計算結果 539 |
| スティフな機械系 544 |
| 演習問題 545 |
| Ⅶ.8 束縛条件付きのハミルトン系に対するシンプレクティック法 545 |
| 厳密な流れの性質 546 |
| 1次シンプレクティック法 548 |
| SHAKEとRATTLE 550 |
| ロバットIIIA-IIIB対 552 |
| 複合法 556 |
| 後退誤差解析（常微分方程式に対する） 557 |
| 多様体上の後退誤差解析 562 |
| 演習問題 564 |
| 付録 Fortranコード集 567 |
| 参考文献 579 |
| 監訳者あとがき 606 |
| 記号索引 610 |
| 事項索引 612 |
| 注 : g[j](n)，Φ[j](n)とΦ[j][*](n)の[j]は下つき文字[*]は上つき文字 |
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| 第Ⅰ章 古典的数学理論 1 |
図書
