まえがき v |
理論の概要と目標 vii |
第1章 偏微分方程式の多様さ 1 |
1.1 解の空間,領域,特性方向 1 |
(a)無限次元 1 |
(b)領域の形 2 |
(c)関数空間 4 |
(d)特性方向 10 |
1.2 Fourier級数とFourier変換 11 |
(a)Fourier級数 12 |
(b)Fourier変換 14 |
(c)緩増加超関数のFourier変換 18 |
(d)コンパクトな台を持つ超関数と合成積 19 |
1.3 初期値問題 21 |
(a)特性初期値問題と零解 22 |
(b)双曲型作用素 24 |
(c)Cauchy-Kowaleskiの定理 26 |
1.4 解の正則性 32 |
1.5 境界値問題とGreen関数 38 |
(a)大域的な片側での初期値問題 40 |
(b)楕円型境界値問題 46 |
(c)混合問題 50 |
1.6 7つの解法 51 |
要約 56 |
演習問題 57 |
第2章 2階楕円型・放物型偏微分方程式の基礎理論 59 |
2.1 弱解の存在と一意性 I (斉次境界条件) 60 |
(a)楕円型方程式に対するDirichlet境界値問題 60 |
(b)Neumann境界値問題,非対称作用素 67 |
(c)放物型方程式に対する初期・境界値問題 69 |
2.2 L^2-先験的評価と弱解の正則性 77 |
(a)楕円型方程式に対する内部L^2-先験的評価と内部正則性 78 |
(b)楕円型方程式に対する内部正則性定理の証明 80 |
(c)楕円型方程式の解の解析性 84 |
(d)大域的L^2-先験的評価と大域的正則性 85 |
(e)放物型方程式の弱解の正則性定理 89 |
2.3 弱解の存在と一意性II(非斉次境界条件) 92 |
(a)軟化作用素 92 |
(b)拡張定理 94 |
(c)トレース定理 95 |
(d)非斉次境界値問題,非斉時混合問題 98 |
2.4 弱最大値原理 101 |
(a)楕円型方程式に対する弱最大値原理 101 |
(b)放物型方程式に対する弱最大値原理 103 |
2.5 Schauder評価 105 |
(a)楕円型方程式に対するSchauder評価と正則性定理 105 |
(b)Hoelder空間での可解性 108 |
(c)放物型方程式に対するSchauder評価,正則性,可解性 109 |
2.6 基本解,Green関数,Poisson核と解の表現 112 |
(a)Cauchy問題の基本解と解の一意存在定理 112 |
(b)混合問題の基本解と解の存在定理 115 |
(c)楕円型境界値問題のGreen関数とPoisson核 117 |
2.7 楕円型作用素のスペクトルと半群 121 |
(a)スペクトル,レゾルベント,自己共役作用素 122 |
(b)楕円型方程式の弱解の存在と一意性Ⅲ 127 |
(c)Fredholmの交代定理と固有関数展開 129 |
(d)min-max原理 |
(e)放物型方程式に対する初期・境界値問題Ⅲ 134 |
要約 140 |
演習問題 141 |
第3章 解の定量的評価と基本的性質 143 |
3.1 強最大値原理 143 |
(a)楕円型・放物型方程式に対するHopfの強最大値原理 143 |
(b)楕円型方程式対する弱最大値原理(V(x)≧0の場合) 148 |
(c)Gidas-Ni-Nirenbergの理論 152 |
3.2 Sovolevの不等式,加藤の不等式,劣解評価 156 |
(a)Sovolevの不等式 156 |
(b)弱微分の合成則,積公式 160 |
(c)加藤の不等式と弱L-劣解・優解 163 |
(d)弱解のL^∞評価(Moserの劣解評価) 166 |
3.3 楕円型・放物型Harnackの不等式とその応用 171 |
(a)楕円型Harnackの不等式とHoelder評価 172 |
(b)Dirichlet問題とGreen関数の評価 176 |
(c)Liouville形定理 180 |
(d)非線形変分問題の解の正則性 181 |
(e)放物型Harnackの不等式 185 |
要約 188 |
演習問題 189 |
第4章 Schroedinger半群 |
4.1 極小基本解とSchroedinger半群 191 |
4.2 初期値問題の解の一意性と非一意性 196 |
(a)制限された増大度を持つ解の一意性 198 |
(b)非負値解の一意性 203 |
(c)非負値解の非一意性 207 |
4.3 定常Schrordinger方程式とHのスペクトル 208 |
(a)HのスペクトルとVの無限遠での挙動 208 |
(b)定常Schrordinger方程式の解の増大度と正値性 210 |
4.4 極小基本解の長時間漸近形 215 |
(a)真性スペクトルの下端 215 |
(b)IU(intrinsically ultracontractive) 217 |
要約 221 |
演習問題 221 |
現代数学への展望 223 |
参考文献 225 |
参考書 230 |
問解答 231 |
演習問題解答 242 |
索引 251 |