はじめに-線形代数をなぜ学ぶのか 1 |
第1章 数ベクトル空間,線形写像,基底 |
1.1 数ベクトル 3 |
1.2 数ベクトルの算術(線形演算) 7 |
1.3 線形写像 10 |
1.3.1線形写像の例 12 |
1.3.2線形写像と連立1次方程式 16 |
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第1部基礎編 |
行列と行列式 |
第2章 行列と行列の演算 18 |
2.1 行列 18 |
2.2 行列の演算 20 |
2.2.1 行列の和と差 20 |
2.2.2 行列の定数倍 21 |
2.2.3 行列の積 22 |
2.2.4 行列の積と線形写像 24 |
2.2.5 転置行列と共役行列 26 |
2.2.6 行列のアダマール積 27 |
2.3 基本的な行列の例 27 |
2.4 逆行列 31 |
第3章 線形写像と行列 37 |
3.1 線形写像の行列による表現 37 |
3.2 行列と線形写像の演算 40 |
3.3 写像と逆写像 42 |
第4章 ガウスの消去法 47 |
4.1 具体例 48 |
4.2 より一般の場合のガウスの消去法 52 |
4.2.1 上三角行列への変形 53 |
4.2.2前進代入法と後退代入法 55 |
4.3 基本行列の積による行列の変形 56 |
4.3.1 具体例 57 |
4.3.2 一般の場合 60 |
4.4 逆行列の計算一掃き出し法 64 |
第5章 行列式 70 |
5.1 置換 71 |
5.2 置換の符号と偶置換,奇置換 75 |
5.3 行列式 79 |
5.4 行列式の基本的な性質 84 |
5.4.1 行に関する変形 84 |
5.4.2 列に関する変形 89 |
5.4.3 行列式のベクトルによる表示 91 |
第6章 行列式の余因子展開とその応用 95 |
6.1 余因子展開 95 |
6.2 余因子展開を用いた行列式の計算 98 |
6.3 行列式と余因子を用いた逆行列の計算 100 |
6.4 行列式と連立1次方程式の解法 102 |
第7章 いろいろな行列の行列式 106 |
7.1 ファンデルモンド行列式と補間多項式への応用 106 |
7.2 置換行列 111 |
7.3 巡回行列の行列式 115 |
7.4 固有多項式 117 |
7.5 小行列と小行列式 118 |
第8章 ブロック行列 124 |
8.1 ブロック行列の演算 124 |
8.2 ブロック行列の逆行列 129 |
8.3 ブロック行列の行列式 132 |
第2部 理論編線形構造と基底 137 |
9.1 線形独立,線形従属 137 |
9.2 線形包 140 |
9.3 線形部分空間とその基底 114 |
第10章 内積と正規直交基底 154 |
10.1 内積と直交性 154 |
10.2 正規直交基底 160 |
10.3 シュミットの直交化法 162 |
10.4 直交射影と直交補空間 164 |
10.5 最良近似への応用 172 |
10.6 線形写像の値域と核 176 |
第11章 行列の階数 180 |
11.1 一般論 180 |
11.2 階数の計算とピボット 186 |
11.3 行列の標準化 190 |
第12章 連立1次方程式の一般解 193 |
12.1 解の存在と一般解 193 |
12.2 連立1次方程式の一般解の求め方 198 |
第13章 基底変換と行列の対角化 207 |
13.1 基底変換 210 |
13.2 対角化と固有値 215 |
13.3 正規直交基底による対角化 227 |
13.4 エルミート形式とクーランーフィッシャーの定理 238 |
13.5 幾何的な問題と主成分分析への応用 244 |
第14章 行列の分解定理 251 |
14.1 LU分解 251 |
14.2 LDM*分解 260 |
14.3 コレスキー分解 263 |
14.4 QR分解 265 |
14.4.1 ハウスホルダーQR分解 265 |
14.4.2 シュミットの方法によるQR分解 269 |
第3部 応用編 |
第15章 一般逆行列とその応用 273 |
15.1 一般逆行列 273 |
15.2 ムーアーペンローズー般逆行列 279 |
15.3 連立方程式の最小2乗解への応用 285 |
15.4 データの直線,曲線による当てはめへの応用 288 |
15.5 種々の一般逆行列 292 |
15.5.1 反射型一般逆行列 293 |
15.5.2 最小2乗型一般逆行列 294 |
15.5.3 ノルム最小型一般逆行列 295 |
第16章 特異値分解とその応用 297 |
16.1 行列の特異値分解 297 |
16.2 特異値標準形と一般逆行列 305 |
16.3 特異値分解と最小2乗解 309 |
16.4 低階数の行列による近似とディジタル画像 311 |
第17章 多変量解析と線形代数 319 |
17.1 いくつかの基本概念 319 |
17.2 回帰分析 324 |
17.3 主成分分析 326 |
第18章 離散フーリエ解析への応用 332 |
18.1 フーリエ解析とは何か 333 |
18.2 フーリエ基底 335 |
18.3 フィルタリングとその応用(ノイズ除去) 340 |
18.4 循環相関積 345 |
18.5 フーリエ行列と巡回行列 348 |
18.6 スペクトログラム 352 |
第19章 離散ウェーブレットへの応用 356 |
19.1 準備 357 |
19.2 サブバンド・フィルタ・バンク 365 |
19.3 2チャネル最天間引きフィルタ・バンク 371 |
19.4 多重解像度近似 375 |
19.4.1 一般化多重解像度近似 375 |
19.4.2 最大問引きフィルタ・バンクと多重解像度解析 378 |
19.5 ウェーブレットの例 382 |
19.5.1 バール・ウェーブレット 382 |
19.5.2 ドブシー・ウ三一ブレット 388 |
19.5.3 3チャネル2間引きフィルタ・バンクの例 389 |
19.6 ウェーブレットの応用例(特異性の検出) 390 |
第20章 整数値行列とその応用 392 |
20.1 スミス標準形 392 |
20.2 整数値行列による格子の生成 399 |
第4部線形代数の抽象化 |
第21章 線形空間 407 |
21.1 線形空間の定義と例 407 |
21.2 線形写像と行列 416 |
21.3 座標変換について 418 |
21.4 内積 421 |
第22章 テンソル積と外積 427 |
22.1 線形空間のテンソル積 427 |
22.2 線形写像のテンソル積 434 |
22.3 画像処理と線形写像のテンソル積 441 |
22.4 反変テンソル,共変テンソル 444 |
22.5 交代テンソル 446 |
22.6 テンソル代数と外積代数 448 |
第23章 k_ベクトルとk_形式 455 |
23.1 k_ベクトルと線形空間の向き 455 |
23.2 k_形式 460 |
23.3 k_ベクトルに対する内積 465 |
23.4 k_形式に対する内積 470 |
付録A 置換を互換の積に分解する方法 479 |
付録B 行列式の幾何学的意味 481 |
付録C 行列に対するノルム 483 |
付録D ジョルダン標準形 487 |
付録E 問題の解答 492 |
参考文献 530 |