はじめに ⅰ |
この本の読み方 ⅱ |
目次 ⅲ |
0章 ことはじめ 2 |
0.1 連立1次方程式 2 |
0.2 多変数の微積分 3 |
0.3 1次変換と身近な非可換 4 |
0.4 次元 6 |
0.5 常微分方程式 7 |
0.6 シュレディンガー方程式 8 |
0.7 考える道具として 10 |
0.8 まずは2行2列から 11 |
道案内 12 |
第1部 入門編 : 2次行列と平面の1次変換 |
1章 平面ベクトルと2次正方行列 14 |
1.1 平面ベクトル 14 |
1.2 行列とベクトルの演算 15 |
1.3 平面の回転 18 |
1.4 行列と1次変換 20 |
1.5 まとめ 22 |
1.6 ことばの準備 23 |
道案内・練習問題 26 |
2章 平面の1次変換の合成、行列式 27 |
2.1 写像の合成と行列の積 27 |
2.2 回転の合成 28 |
2.3 複素数の行列表示 29 |
2.4 逆行列と逆写像 30 |
2.5 行列式と1次変換の面積比 32 |
2.6 行列式が0のとき 36 |
道案内・練習問題 38 |
3章 2次正方行列の対角化 40 |
3.1 座標系のとりかえ 40 |
3.2 直線に関する折り返し 42 |
3.3 2次曲線の概形をしらべる問題 44 |
3.4 固有ベクトルと対角化 46 |
3.5 固有方程式と固有ベクトル 48 |
3.6 対角化の例 50 |
道案内・練習問題 52 |
4章 2次正方行列の対角化(2) 53 |
4.1 行列のn乗と線型漸化式 53 |
4.2 ジョルダン標準形 55 |
4.3 ケーリー-ハミルトンの定理とその応用 58 |
4.4 微分方程式とジョルダン標準形 61 |
道案内・練習問題 64 |
5章 解析との関連から 66 |
5.1 2次曲面の概形 66 |
5.2 2変数の極値問題との関係 69 |
5.3 ベクトル値関数の微分方程式 73 |
5.4 行列の指数関数 75 |
5.5 回転行列とオイラーの式 77 |
道案内・練習問題 81 |
第2部 基本編 : 線型写像・次元・行列式 |
6章 多成分ベクトルと線型写像 84 |
6.1 数ベクトル空間 84 |
6.2 行列とその演算 85 |
6.3 線型写像とその行列表示 88 |
6.4 いろいろな行列 90 |
6.5 スカラーの範囲が実数でない場合 92 |
6.6 ユークリッド空間、長さと内積 92 |
6.7 空間の回転を表す行列 95 |
道案内・練習問題 98 |
7章 空間の幾何 100 |
7.1 直線 100 |
7.2 平面 101 |
7.3 平行6面体の体積 104 |
7.4 向きと行列式 107 |
7.5 ベクトル積 109 |
道案内・練習問題 114 |
8章 はき出し法、逆行列、階数 116 |
8.1 行の基本変形、列の基本変形 116 |
8.2 行変形で逆行列を求める 119 |
8.3 列変形の意味 125 |
8.4 長方行列のとき.行列の階数 126 |
8.5 一般の連立1次方程式の解のパターン 129 |
道案内・練習問題 132 |
9章 像と核、次元定理 134 |
9.1 像と核、部分ベクトル空間 134 |
9.2 次元の定義 137 |
9.3 次元の定義がうまくいっていること 140 |
9.4 次元定理 143 |
9.5 列変形の応用 144 |
9.6 はき出し法のバージョンアップ 146 |
道案内・練習問題 150 |
10章 正規直交基底など 152 |
10.1 1次独立性と基底再論 152 |
10.2 部分空間の和と共通部分 156 |
10.3 正規直交基底 159 |
10.4 シュミットの直交化 162 |
10.5 直交補空間 164 |
道案内・練習問題 166 |
11章 n次の行列式 168 |
11.1 3元連立1次方程式を強引に解くと 168 |
11.2 3次行列式の性質 171 |
11.3 n次行列式の定義 174 |
11.4 余因子展開と逆行列の公式 178 |
道案内・練習問題 182 |
12章 行列式の応用 184 |
12.1 乗法性とその帰結 184 |
12.2 体積と行列式 186 |
12.3 向きと行列式 190 |
12.4 外積代数と小行列式 193 |
12.5 特殊な行列式 195 |
道案内・練習問題 197 |
13章 行列の対角化 199 |
13.1 固有ベクトルと対角化 199 |
13.2 三角化とケーリー-ハミルトンの定理 203 |
13.3 固有空間への射影 206 |
13.4 ジョルダン標準形 212 |
道案内・練習問題 215 |
第3部 展開編 : 一般のベクトル空間-さまざまな数学への扉 |
14章 一般のベクトル空間 218 |
14.1 ベクトル空間の定義 218 |
14.2 基底と次元、ベクトル空間の同型 220 |
14.3 線型写像の行列表示、基底変換の公式 223 |
14.4 線型常微分方程式の解空間 227 |
道案内・練習問題 231 |
15章 内積および正規行列 234 |
15.1 内積のある空間 234 |
15.2 正規行列とテープリッツの定理 236 |
15.3 定理34の証明 : 同時三角化 240 |
15.4 実正規行列の標準形 243 |
15.5 実2次形式と2次曲面の概形 244 |
道案内・練習問題 249 |
16章 行列のなす群 251 |
16.1 斉次でない2次式とアフィン変換 251 |
16.2 射影変換 253 |
16.3 行列のなす群と幾何学 256 |
16.4 行列の関数、とくに指数関数 260 |
16.5 リー代数入門 264 |
道案内・練習問題 268 |
17章 ベクトル空間の間の演算 270 |
17.1 空間の「和」と「差」 : 直和と補空間 270 |
17.2 もうひとつの差 : 商空間とその応用 272 |
17.3 双対空間 276 |
17.4 テンソル積 281 |
道案内・練習問題 286 |
18章 ジョルダン標準形 288 |
18.1 目標の定理 288 |
18.2 定数係数線型常微分方程式再論 289 |
18.3 単因子と標準形 : 例 293 |
18.4 単因子と標準形 : 一般のとき 297 |
道案内・練習問題 304 |
19章 展望・量子力学入門 306 |
19.1 量子力学の枠組 306 |
19.2 調和振動子 309 |
19.3 コヒーレント状態 312 |
19.4 固有関数展開とデルタ関数 315 |
19.5 一般展開定理 316 |
道案内 323 |
付録 324 |
1. 複素数および体の公理 324 |
2. 置換の符号 328 |
3. 同値関係と商集合 330 |
参考書 333 |
問題略解 334 |
索引 384 |