| まえがき |
| 第1章 偏微分方程式論における弱解の概念について 小川卓克(東北大学大学院理学研究科) 1 |
| 1.1 偏微分方程式の弱解 1 |
| 1.1.1 偏微分方程式の弱解 1 |
| 1.1.2 超関数の意味での弱微分 2 |
| 1.1.3 ソボレフ空間 4 |
| 1.1.4 弱解の定義 5 |
| 1.1.5 積分方程式を満たす弱解 7 |
| 1.2 もう一つの弱解 8 |
| 1.2.1 劣微分、優微分 8 |
| 1.2.2 偏微分方程式の劣解、優解 10 |
| 1.2.3 各点お意味の弱解 粘性解 11 |
| 参考文献 18 |
| 第2章 変分問題の弱解の存在とその正則性について 三沢正史(熊本大学理学部) 19 |
| 2.1 変分問題とオイラー-ラグランジュの方程式 19 |
| 2.1.1 変分問題と偏微分方程式 20 |
| 2.1.2 変分問題と非線型方程式 23 |
| 2.2 変分問題の弱解の存在 24 |
| 2.2.1 関数空間 24 |
| 2.2.2 境界値問題の解の存在 25 |
| 2.3 弱解の正則性 30 |
| 参考文献 44 |
| 第3章 非線型発展方程式と流体方程式-時間大域的古典解の存在 小薗英雄(東北大学大学院理学研究科) 46 |
| 3.1 発展方程式について 46 |
| 3.1.1 常微分方程式 46 |
| 3.1.2 線型偏微分方程式 50 |
| 3.1.3 非線型偏微分方程式 54 |
| 3.1.4 発展方程式の時間大域解と解のアプリオリ評価について 57 |
| 3.2 実解析とその偏微分方程式への応用 60 |
| 3.2.1 ハーディ空間とその応用 60 |
| 3.2.2 BMO空間における一次形式とナヴィエーストークス方程式 66 |
| 3.2.3 ベゾフ空間における対数型ソボレフの不等式 69 |
| 参考文献 77 |
| 第4章 非線型分散型・双曲型偏微分方程式について 小川卓克(東北大学大学院理学研究科) 80 |
| 4.1 非線型双曲型方程式 80 |
| 4.1.1 波動方程式 80 |
| 4.1.2 波動方程式の起源 82 |
| 4.1.3 半線型波動方程式の適切性 85 |
| 4.1.4 エネルギー評価 87 |
| 4.2 非線型分散型方程式 89 |
| 4.2.1 量子力学とシュレディンガー方程式 89 |
| 4.2.2 水面波と非線型分散型方程式 92 |
| 4.3 分散構造と分散型評価 94 |
| 4.3.1 分散型方程式に対する分散評価 94 |
| 4.3.2 時空分散型評価 98 |
| 4.3.3 非線型シュレディンガー方程式と分散評価の利用法 99 |
| 参考文献 104 |
| 第5章 気体の一次元流モデル方程式に対するジーンズ不安定性 山本吉孝(大阪大学大学院情報科学研究科) 106 |
| 5.1 ジーンズ不安定性とは 106 |
| 5.2 モデル方程式 109 |
| 5.3 初期値問題 111 |
| 5.4 平衡とその安定性 112 |
| 5.5 等温流体の漸近挙動 125 |
| 5.6 まとめと課題 130 |
| 参考文献 131 |
| 第6章 回転する物体の周りの非圧縮粘性流 菱田俊明(新潟大学自然科学系) 133 |
| 6.1 ナヴィエ-ストークス方程式 133 |
| 6.2 外部領域での流れ 135 |
| 6.3 物体が回転する場合の問題設定 136 |
| 6.4 全空間におけるストークス問題 140 |
| 6.5 積分作用素のLq有界性 142 |
| 参考文献 148 |
| 第7章 数理ファイナンスに現れる非線型偏微分方程式 小池茂昭(埼玉大学大学院理工学研究科) 151 |
| 7.1 序 151 |
| 7.2 動的計画原理から偏微分方程式へ 152 |
| 7.3 解の評価 158 |
| 7.3.1 1次増大の場合 159 |
| 7.3.2 2次増大の場合 161 |
| 7.3.3 2階微分の評価 161 |
| 7.4 解の存在 162 |
| 7.4.1 修正版ペロンの方法 163 |
| 7.4.2 一様楕円型の場合 164 |
| 7.4.3 具体的な問題に戻って 166 |
| 参考文献 167 |
| 第8章 重調和型半線型楕円型方程式の最小エネルギー解の漸近挙動 高橋太(大阪市立大学大学院理学研究科) 169 |
| 8.1 はじめに 169 |
| 8.2 重調和型半線型楕円型境界値問題 176 |
| 8.3 最小エネルギーCpの評価 178 |
| 8.4 定理8-1の証明のスケッチ 182 |
| 8.5 定理8-2の証明のスケッチ 183 |
| 8.6 おわりに 187 |
| 参考文献 187 |
| 第9章 球面に値をとる調和写像の特異点の解析 仲島徹(静岡大学工学部) 189 |
| 9.1 はじめに 189 |
| 9.2 問題設定 190 |
| 9.3 特異点の近傍での挙動 194 |
| 9.4 安定性 196 |
| 9.5 定理9-16の証明のあらすじ 198 |
| 参考文献 201 |
| 第10章 スケール変換不変なエネルギー汎関数をもつ非線型放物型方程式の解の漸近挙動 石渡通徳(東北大学大学院理学研究科) 203 |
| 10.1 はじめに 203 |
| 10.1.1 問題の提示 203 |
| 10.1.2 既存の結果 212 |
| 10.1.3 上結果 215 |
| 10.2 準備 216 |
| 10.3 定理10-8の証明のスケッチ 218 |
| 参考文献 220 |
| 第11章 非線型熱方程式の自己相似解について 内藤雄基(神戸大学工学部) 222 |
| 11.1 解の挙動と自己相似性 222 |
| 11.1.1 時間大域解、爆発解 222 |
| 11.1.2 自己相似解 225 |
| 11.1.3 藤田臨界指数 227 |
| 11.1.4 拡散 vs 爆発 : パラメータを伴う初期値問題 229 |
| 11.1.5 初期値を0とする正値解 230 |
| 11.2 自己相似解の存在 231 |
| 11.2.1 自己相似解の満たす初期条件 231 |
| 11.2.2 重み付きソボレフ空間:変分的定式化 233 |
| 11.2.3 自己相似解の球対称性 234 |
| 11.2.4 与えられた初期値をもつ自己相似解 236 |
| 11.2.5 自己相似解の存在:比較定理による方法 237 |
| 11.2.6 自己相似解の存在:変分的方法 239 |
| 11.2.7 終わりに 240 |
| 参考文献 241 |
| 第12章 クリスタライン曲率流方程式の解の漸近挙動について 矢崎成俊(宮崎大学工学部) 244 |
| 12.1 はじめに 244 |
| 12.2 問題背景《曲率流方程式》 244 |
| 12.3 問題設定《クリスタライン曲率流方程式》 252 |
| 12.4 非凸単純閉許容折れ線 257 |
| 12.5 許容凸多角形 262 |
| 12.6 幾何的量と幾何学的不等式 263 |
| 12.7 負冪の場合 264 |
| 12.8 正冪の場合 265 |
| 12.9 面積保存の場合 271 |
| 12.10 おわりに 273 |
| 参考文献 274 |
| 第13章 小さいデータに対する準線型連立波動方程式の大域解の存在について 片山聡一郎(和歌山大学教育学部) 横山和義(北海道工業大学) 278 |
| 13.1 はじめに 278 |
| 13.2 零構造 285 |
| 13.3 記号 287 |
| 13.4 L2-評価 289 |
| 13.5 各点評価 291 |
| 13.6 定理13-9の証明について 293 |
| 13.7 おわりに 297 |
| 参考文献 299 |
| 索引 302 |
| まえがき |
| 第1章 偏微分方程式論における弱解の概念について 小川卓克(東北大学大学院理学研究科) 1 |
| 1.1 偏微分方程式の弱解 1 |
| 1.1.1 偏微分方程式の弱解 1 |
| 1.1.2 超関数の意味での弱微分 2 |
| 1.1.3 ソボレフ空間 4 |
